Encontre uma base para o autoespaço associado a cada autovalor dado abaixo:
A=[rrr-4 & 1 & 1 2 & -3 & 2 3 & 3 & -2], lambda=-5

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = -4 & 1 & 1 2 & -3 & 2 3 & 3 & -2
e o autovalor lambda = -5. Queremos achar uma base do autoespaço associado a lambda, isto é, o núcleo de A - lambda I.

Passo 2

Calculamos
A - lambda I = A - (-5)I = A + 5I = -4+5 & 1 & 1 2 & -3+5 & 2 3 & 3 & -2+5 = 1 & 1 & 1 2 & 2 & 2 3 & 3 & 3

Passo 3

Para achar o núcleo, resolvemos o sistema homogêneo (A+5I)x=0, isto é:
x1 + x2 + x3 = 0, 2x1 + 2x2 + 2x3 = 0, 3x1 + 3x2 + 3x3 = 0
Observamos que todas as equações reduzem a
x1 + x2 + x3 = 0

Passo 4

Parametrizamos a solução tomando dois parâmetros livres. Seja x2=s e x3=t. Da equação x1+x2+x3=0 vem
x1 = -,s - t
Logo
x = (x1,x2,x3) = (-s - t,;s,;t) = s,(-1,1,0) + t,(-1,0,1)
Isso mostra que o autoespaço tem dimensão 2 e é gerado pelos vetores (-1,1,0) e (-1,0,1).

Resposta

Uma base do autoespaço associado a lambda=-5 é
,(-1,1,0),;(-1,0,1)

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