Mostre que se A^2 for a matriz nula, então o único autovalor de A será 0 .

Passo 1

Temos uma matriz quadrada A tal que
A^2 = 0
(isto é, A é nilpotente de índice no máximo 2). Precisamos mostrar que, se lambda for um autovalor de A, então lambda=0. O conteúdo usado será a definição de autovalor e autovetor e as propriedades de produto de matrizes.

Passo 2

Suponha que lambda seja um autovalor de A e vneq0 seja um autovetor associado. Então, por definição,
A v = lambda v

Passo 3

Aplique A em ambos os lados da igualdade A v = lambda v. No lado esquerdo fica A^2v e no direito:
A(A v)=A(lambda v)=lambda,(A v)=lambdal(lambda vr)=lambda^2 v

Passo 4

Como A^2=0, o produto A^2v é o vetor zero. Logo,
0 = A^2v = lambda^2 v
Mas vneq0, portanto só pode ser lambda^2=0, o que implica lambda=0.

Resposta

O único autovalor de A é 0.

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