Mostre que se
for a matriz nula, então o único autovalor de
será 0 .
Passo 1
Temos uma matriz quadrada
tal que
(isto é,
é nilpotente de índice no máximo 2). Precisamos mostrar que, se
for um autovalor de
, então
. O conteúdo usado será a definição de autovalor e autovetor e as propriedades de produto de matrizes.
Passo 2
Suponha que
seja um autovalor de
e
seja um autovetor associado. Então, por definição,
Passo 3
Aplique
em ambos os lados da igualdade
. No lado esquerdo fica
e no direito:
Passo 4
Como
, o produto
é o vetor zero. Logo,
Mas
, portanto só pode ser
, o que implica
.
Resposta
O único autovalor de
é
.