(a) Se
é um autovalor de
, mostre que
é um autovalor de
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se uma matriz
tem autovalor
com algum autovetor não-nulo
, então a matriz
tem como autovalor
. O conteúdo usado aqui é a definição de autovalor/autovetor e a propriedade de homogeneidade da multiplicação por escalar em matrizes.
Passo 2
Por definição de autovalor, existe um vetor
tal que
Passo 3
Multiplicando ambos os lados da igualdade por
, obtemos
Passo 4
Como a multiplicação por escalar associa-se a matrizes e vetores, isso dá
Logo,
é autovetor de
associado ao autovalor
.
Resposta
O número
é autovalor de
.