(a) Se lambda é um autovalor de A, mostre que 2 lambda é um autovalor de 2 A.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se uma matriz A tem autovalor lambda com algum autovetor não-nulo v, então a matriz 2A tem como autovalor 2lambda. O conteúdo usado aqui é a definição de autovalor/autovetor e a propriedade de homogeneidade da multiplicação por escalar em matrizes.

Passo 2

Por definição de autovalor, existe um vetor vneq0 tal que
A,v = lambda,v

Passo 3

Multiplicando ambos os lados da igualdade por 2, obtemos
2l(A,vr) = 2l(lambda,vr)

Passo 4

Como a multiplicação por escalar associa-se a matrizes e vetores, isso dá
(2A),v = 2lambda,v
Logo, vneq0 é autovetor de 2A associado ao autovalor 2lambda.

Resposta

O número 2lambda é autovalor de 2A.

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