(b) Se
é inversível então
é diagonalizável.
Passo 1
O enunciado nos pede para avaliar a veracidade da afirmação: “Se
é inversível então
é diagonalizável.” O conteúdo aqui é álgebra linear, mais especificamente diagonalização de matrizes e invertibilidade. Vamos usar as definições de invertibilidade e de diagonalização e, em seguida, produzir um contraexemplo.
Passo 2
Uma matriz
é inversível se e somente se
. Já
é diagonalizável quando existe uma base de
formada por autovetores de
, ou seja, existe
inversível tal que
onde
é diagonal.
Passo 3
Para mostrar que a invertibilidade não implica diagonalização, basta dar um exemplo de matriz inversível mas que não admita base de autovetores completa. Uma escolha clássica é o bloco de Jordan de ordem
com autovalor
:
Passo 4
Verificamos que
é inversível, pois
O único autovalor é
com multiplicidade algébrica
. Mas a equação
dá
logo o espaço de autovetores tem dimensão
(multiplicidade geométrica
). Como geométrica
algébrica,
não é diagonalizável.]
Passo 5
O exemplo mostra que há matrizes inversíveis sem base de autovetores suficiente, portanto a afirmação é falsa.
Resposta
Falso.