(b) Se A é inversível então A é diagonalizável.

Passo 1

O enunciado nos pede para avaliar a veracidade da afirmação: “Se A é inversível então A é diagonalizável.” O conteúdo aqui é álgebra linear, mais especificamente diagonalização de matrizes e invertibilidade. Vamos usar as definições de invertibilidade e de diagonalização e, em seguida, produzir um contraexemplo.

Passo 2

Uma matriz AinK^ntimes n é inversível se e somente se det(A)neq0. Já A é diagonalizável quando existe uma base de K^n formada por autovetores de A, ou seja, existe P inversível tal que
P^-1AP = D
onde D é diagonal.

Passo 3

Para mostrar que a invertibilidade não implica diagonalização, basta dar um exemplo de matriz inversível mas que não admita base de autovetores completa. Uma escolha clássica é o bloco de Jordan de ordem 2 com autovalor lambda neq 0:
A = 1 & 1[6pt]0 & 1 ]

Passo 4

Verificamos que é inversível, pois
O único autovalor é com multiplicidade algébrica . Mas a equação
logo o espaço de autovetores tem dimensão (multiplicidade geométrica ). Como geométrica algébrica, não é diagonalizável.]

Passo 5

O exemplo mostra que há matrizes inversíveis sem base de autovetores suficiente, portanto a afirmação é falsa.

Resposta

Falso.

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