Se lambda é autovalor de T, mostre que lambda^2 é autovalor de T^2=T circ T.

Passo 1

O enunciado considera uma transformação linear T: V to V e diz que lambda é autovalor de T. Precisamos mostrar que lambda^2 é autovalor de T^2=Tcirc T. Usaremos os conceitos de autovalor e autovetor, e a propriedade de linearidade de T.

Passo 2

Como lambda é autovalor de T, existe um vetor não nulo vin V tal que
T( v)=lambda, v

Passo 3

Aplicamos T^2 sobre v:
T^2( v)=Tl(T( v)r)=Tl(lambda, vr)
Pela linearidade de T, temos
Tl(lambda, vr) =lambda,T( v) =lambdal(lambda, vr) =lambda^2, v

Passo 4

Visto que vneq0 e T^2( v)=lambda^2, v, concluímos que v é autovetor de T^2 associado ao autovalor lambda^2.

Resposta

lambda^2 é autovalor de T^2.

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