O Teorema de Cayley-Hamilton afirma que uma matriz quadrada A é uma raíz de seu polinômio característico, isto é, se p(x)=a0+a1 x+ldots+an x^n é o polinômio característico de A então a0 I+a1 A=a2 A^2+ldots+an A^n= 0 (matriz nula).
(c) Calcule agora A^2 e A^3 sendo A=[ll3 & 6 1 & 2] e calcule a inversa da matriz B=[ccc0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 1 & -3 & 3].

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) calcular as potências A^2 e A^3 da matriz
A = 3 & 6 1 & 2,
usando multiplicação de matrizes (linha times coluna); e (ii) calcular a inversa da matriz
B = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 1 & -3 & 3,
usando o determinante e a matriz de cofatores (adjunta).

Passo 2

Para achar
A^2 = A , A
fazemos o produto
A^2 = 3 & 6 1 & 2 3 & 6 1 & 2 = 3cdot3 + 6cdot1 & 3cdot6 + 6cdot2 1cdot3 + 2cdot1 & 1cdot6 + 2cdot2 = 15 & 30 5 & 10

Passo 3

Em seguida
A^3 = A^2,A
fica
A^3 = 15 & 30 5 & 10 3 & 6 1 & 2 = 15cdot3 + 30cdot1 & 15cdot6 + 30cdot2 5cdot3 + 10cdot1 & 5cdot6 + 10cdot2 = 75 & 150 25 & 50

Passo 4

Para obter calculamos primeiro
Depois construímos a matriz de cofatores de , cujos elementos são
once é o menor de obtido eliminando a linha e a coluna . Isso dá
e a adjunta é . Como ,

Resposta

A^2 = 15 & 30 5 & 10, A^3 = 75 & 150 25 & 50, B^-1 = 3 & -3 & 1 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0

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