Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas e justifique sua resposta.
(a) Se T(v)=lambda v para algum escalar não-nulo lambda, então v é autovetor de T.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a afirmação “Se T(v)=lambda v para algum escalar não-nulo lambda, então v é autovetor de T” é verdadeira ou falsa. O conteúdo envolve a definição de autovalor e autovetor de uma transformação linear.

Passo 2

Lembrando a definição: dizemos que v é um autovetor de T associado ao autovalor lambda se e somente se
T(v)=lambda v
e simultaneamente vneq0. Ou seja, o vetor zero não é considerado autovetor, embora satisfaça a igualdade para qualquer lambda.

Passo 3

A hipótese da afirmação é apenas que existe lambdaneq0 tal que T(v)=lambda v. Não há menção de que vneq0. Logo, nada impede que v=0 satisfaça essa igualdade, pois
T(0)=0=lambdacdot0

Passo 4

Como v=0 satisfaz T(v)=lambda v mas não pode ser considerado autovetor por definição, concluímos que a afirmação original é falsa. Um contra-exemplo simples é escolher qualquer transformação T, tomar v=0 e um escalar lambdaneq0: a igualdade vale, mas v não é autovetor.

Resposta

A afirmação é falsa.

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