Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas e justifique sua resposta.
(a) Se
para algum escalar não-nulo
, então
é autovetor de
.
(a) Se
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a afirmação “Se
para algum escalar não-nulo
, então
é autovetor de
” é verdadeira ou falsa. O conteúdo envolve a definição de autovalor e autovetor de uma transformação linear.
Passo 2
Lembrando a definição: dizemos que
é um autovetor de
associado ao autovalor
se e somente se
e simultaneamente
. Ou seja, o vetor zero não é considerado autovetor, embora satisfaça a igualdade para qualquer
.
Passo 3
A hipótese da afirmação é apenas que existe
tal que
. Não há menção de que
. Logo, nada impede que
satisfaça essa igualdade, pois
Passo 4
Como
satisfaz
mas não pode ser considerado autovetor por definição, concluímos que a afirmação original é falsa. Um contra-exemplo simples é escolher qualquer transformação
, tomar
e um escalar
: a igualdade vale, mas
não é autovetor.
Resposta
A afirmação é falsa.