Os autovalores de um operador linear são e , sendo e os respectivos autovetores associados. Determine a matriz de em relação as bases canônicas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! O que temos aqui é um operador linear com dois autovalores e seus respectivos autovetores. Nosso objetivo é encontrar a matriz de na base canônica. Para isso, vamos precisar entender conceitos como autovalores, autovetores e mudança de bases.
Passo 2
Primeiro, lembremos o que são autovalores e autovetores. Para um operador linear , se existe um vetor não nulo e um escalar tais que , então é um autovalor e é o autovetor correspondente. No nosso caso, temos:
lambda2 = 2 com autovetor v2 = 1 -1
Passo 3
Como os autovetores v1 e v2 são linearmente independentes (já que correspondem a autovalores diferentes), eles formam uma base própria para R^2 . Nessa base própria, a matriz de T será uma matriz diagonal cujas entradas são os autovalores. Ou seja:
D = lambda1 & 0 0 & lambda2 = -3 & 0 0 & 2
Passo 4
Agora, para encontrar a matriz de T na base canônica, precisamos fazer uma mudança de base. Para isso, vamos construir a matriz P cujas colunas são os autovetores v1 e v2 :
P = -1 & 1 0 & -1
A matriz P nos ajuda a passar da base própria para a base canônica.
Passo 5
A relação entre a matriz de T na base própria D e a matriz de T na base canônica A é dada por:
A = P cdot D cdot P^-1
Então, precisamos calcular P^-1 , a inversa da matriz P .
Passo 6
Vamos calcular a inversa de P . Para uma matriz 2 times 2 :
P = a & b c & d Rightarrow P^-1 = 1ad - bc d & -b -c & a
No nosso caso:
a = -1, b = 1, c = 0, d = -1
Determinante = (-1)(-1) - (1)(0) = 1
P^-1 = -1 & -1 0 & -1
Passo 7
Agora, vamos multiplicar as matrizes P , D e P^-1 :
A = P cdot D cdot P^-1 = -1 & 1 0 & -1 cdot -3 & 0 0 & 2 cdot -1 & -1 0 & -1