Os autovalores de um operador linear T: R^2 R^2 são lambda1=-3 e lambda2=2, sendo v1=(-1,0) e v2=(1,-1) os respectivos autovetores associados. Determine a matriz de T(x, y) em relação as bases canônicas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! O que temos aqui é um operador linear T: R^2 R^2 com dois autovalores e seus respectivos autovetores. Nosso objetivo é encontrar a matriz de T(x, y) na base canônica. Para isso, vamos precisar entender conceitos como autovalores, autovetores e mudança de bases.

Passo 2

Primeiro, lembremos o que são autovalores e autovetores. Para um operador linear T , se existe um vetor v não nulo e um escalar lambda tais que T(v) = lambda v , então lambda é um autovalor e v é o autovetor correspondente. No nosso caso, temos:
lambda1 = -3 com autovetor v1 = -1 0
lambda2 = 2 com autovetor v2 = 1 -1

Passo 3

Como os autovetores v1 e v2 são linearmente independentes (já que correspondem a autovalores diferentes), eles formam uma base própria para R^2 . Nessa base própria, a matriz de T será uma matriz diagonal cujas entradas são os autovalores. Ou seja:
D = lambda1 & 0 0 & lambda2 = -3 & 0 0 & 2

Passo 4

Agora, para encontrar a matriz de T na base canônica, precisamos fazer uma mudança de base. Para isso, vamos construir a matriz P cujas colunas são os autovetores v1 e v2 :
P = -1 & 1 0 & -1
A matriz P nos ajuda a passar da base própria para a base canônica.

Passo 5

A relação entre a matriz de T na base própria D e a matriz de T na base canônica A é dada por:
A = P cdot D cdot P^-1
Então, precisamos calcular P^-1 , a inversa da matriz P .

Passo 6

Vamos calcular a inversa de P . Para uma matriz 2 times 2 :
P = a & b c & d Rightarrow P^-1 = 1ad - bc d & -b -c & a
No nosso caso:
a = -1, b = 1, c = 0, d = -1
Determinante = (-1)(-1) - (1)(0) = 1
P^-1 = -1 & -1 0 & -1

Passo 7

Agora, vamos multiplicar as matrizes P , D e P^-1 :
A = P cdot D cdot P^-1 = -1 & 1 0 & -1 cdot -3 & 0 0 & 2 cdot -1 & -1 0 & -1
Primeiro, multiplicamos P por D :
P cdot D = -1 cdot (-3) + 1 cdot 0 & -1 cdot 0 + 1 cdot 2 0 cdot (-3) + (-1) cdot 0 & 0 cdot 0 + (-1) cdot 2 = 3 & 2 0 & -2

Passo 8

Agora, multiplicamos o resultado acima por P^-1 :
A = 3 & 2 0 & -2 cdot -1 & -1 0 & -1 = 3 cdot (-1) + 2 cdot 0 & 3 cdot (-1) + 2 cdot (-1) 0 cdot (-1) + (-2) cdot 0 & 0 cdot (-1) + (-2) cdot (-1) = -3 & -5 0 & 2

Resposta

Portanto, a matriz de T(x, y) na base canônica é:
A = -3 & -5 0 & 2

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