Prove que qualquer matriz da forma não é diagonalizável.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para toda matriz
A = a & 1 & 0 0 & a & 1 0 & 0 & b ,
não existe uma base de R^3 (ou C^3) formada por autovetores de A.
Conteúdo envolvido: definição de matriz diagonalizável, valores próprios (autovalores) e seus espaços próprios (autovetores).
Passo 2
Calculamos o polinômio característico de A. Como A é triangular superior, seus autovalores são as entradas da diagonal. Logo,
Portanto os autovalores são lambda1=a com multiplicidade algébrica 2 e lambda2=b com multiplicidade algébrica 1.
Passo 3
Para verificar se
Escrevendo ,
As equações são
Da segunda equação vem . O valor de fica livre. Logo o espaço próprio de tem dimensão geométrica 1, pois todos os vetores são múltiplos de .
Passo 4
Para que A fosse diagonalizável, cada autovalor teria de fornecer tantos autovetores independentes quantos sua multiplicidade algébrica. Aqui a multiplicidade algébrica de a é 2, mas sua multiplicidade geométrica é apenas 1. Isso impede A de ser diagonalizável, seja b=a ou bneq a.
Resposta
A matriz A=a&1&00&a&10&0&b
não é diagonalizável porque o autovalor a tem multiplicidade algébrica 2, mas apenas um autovetor (multiplicidade geométrica 1).