Prove que qualquer matriz 3 times 3 da forma [llla & 1 & 0 0 & a & 1 0 & 0 & b] não é diagonalizável.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para toda matriz
A = a & 1 & 0 0 & a & 1 0 & 0 & b ,
não existe uma base de R^3 (ou C^3) formada por autovetores de A.
Conteúdo envolvido: definição de matriz diagonalizável, valores próprios (autovalores) e seus espaços próprios (autovetores).

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A. Como A é triangular superior, seus autovalores são as entradas da diagonal. Logo,
chiA(lambda)=det(A-lambda I) =(a-lambda),(a-lambda),(b-lambda) =(a-lambda)^2,(b-lambda)
Portanto os autovalores são lambda1=a com multiplicidade algébrica 2 e lambda2=b com multiplicidade algébrica 1.

Passo 3

Para verificar se
Escrevendo ,
As equações são
Da segunda equação vem . O valor de fica livre. Logo o espaço próprio de tem dimensão geométrica 1, pois todos os vetores são múltiplos de .

Passo 4

Para que A fosse diagonalizável, cada autovalor teria de fornecer tantos autovetores independentes quantos sua multiplicidade algébrica. Aqui a multiplicidade algébrica de a é 2, mas sua multiplicidade geométrica é apenas 1. Isso impede A de ser diagonalizável, seja b=a ou bneq a.

Resposta

A matriz
A=a&1&00&a&10&0&b
não é diagonalizável porque o autovalor a tem multiplicidade algébrica 2, mas apenas um autovetor (multiplicidade geométrica 1).

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