Os vetores v1=(2,-1) e v2=(1,1) são autovetores de um operador linear T: R^2 R^2, associados a lambda1=-1 e lambda2=5, respectivamente. Determine a imagem do vetor v=(4,1) por esse vetor.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear! A questão fala sobre um operador linear T: R^2 R^2 que tem dois autovetores v1 = (2, -1) e v2 = (1, 1) , com autovalores lambda1 = -1 e lambda2 = 5 respectivamente. Nosso objetivo é descobrir qual é a imagem do vetor v = (4, 1) quando aplicamos o operador T nele.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que um operador linear transforma vetores no espaço de maneira que podemos combinar transformações de forma simples. Como v1 e v2 são autovetores de T , isso facilita bastante nossa vida.

Passo 3

Vamos expressar o vetor v = (4, 1) como uma combinação linear dos autovetores v1 e v2 . Ou seja, queremos encontrar escalares a e b tais que:
v = a cdot v1 + b cdot v2
Isso nos dá o sistema de equações:
2a + 1b = 4
-1a + 1b = 1

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar a e b . Podemos utilizar o método da substituição ou da adição. Vamos pelo método da adição:
Multiplicamos a segunda equação por 2 para facilitar a eliminação de a :
-2a + 2b = 2
Agora, somamos com a primeira equação:
2a + b = 4
(-2a + 2b) + (2a + b) = 2 + 4
3b = 6 Rightarrow b = 2
Substituindo b = 2 na primeira equação:
2a + 2 = 4 Rightarrow 2a = 2 Rightarrow a = 1

Passo 5

Agora que encontramos a = 1 e b = 2 , podemos escrever:
v = 1 cdot v1 + 2 cdot v2
Ou seja:
v = v1 + 2v2

Passo 6

Como T é um operador linear, podemos aplicar a transformação em v usando a linearidade:
T(v) = T(v1 + 2v2) = T(v1) + 2T(v2)
E sabemos que:
T(v1) = lambda1 cdot v1 = -1 cdot v1
T(v2) = lambda2 cdot v2 = 5 cdot v2

Passo 7

Substituindo os valores:
T(v) = -1 cdot v1 + 2 cdot (5 cdot v2) = -v1 + 10v2
Agora, substituímos v1 e v2 :
-v1 = - (2, -1) = (-2, 1)
10v2 = 10 cdot (1, 1) = (10, 10)
Somando esses dois vetores:
T(v) = (-2, 1) + (10, 10) = (8, 11)

Resposta

A imagem do vetor v = (4, 1) pelo operador T é T(v) = (8, 11) .

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