Os vetores
e
são autovetores de um operador linear
, associados a
e
, respectivamente. Determine a imagem do vetor
por esse vetor.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear! A questão fala sobre um operador linear
que tem dois autovetores
e
, com autovalores
e
respectivamente. Nosso objetivo é descobrir qual é a imagem do vetor
quando aplicamos o operador
nele.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que um operador linear transforma vetores no espaço de maneira que podemos combinar transformações de forma simples. Como
e
são autovetores de
, isso facilita bastante nossa vida.
Passo 3
Vamos expressar o vetor
como uma combinação linear dos autovetores
e
. Ou seja, queremos encontrar escalares
e
tais que:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar
e
. Podemos utilizar o método da substituição ou da adição. Vamos pelo método da adição:
Multiplicamos a segunda equação por 2 para facilitar a eliminação de
:
Agora, somamos com a primeira equação:
Substituindo
na primeira equação:
Passo 5
Agora que encontramos
e
, podemos escrever:
Ou seja:
Passo 6
Como
é um operador linear, podemos aplicar a transformação em
usando a linearidade:
E sabemos que:
Passo 7
Substituindo os valores:
Agora, substituímos
e
:
Somando esses dois vetores:
Resposta
A imagem do vetor
pelo operador
é
.