Determinar os autovalores e autovetores dos seguintes operadores lineares: , definida por
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os autovalores e autovetores do operador linear definido por . Para isso, vamos precisar entender o que são autovalores e autovetores, além de saber como calcular esses valores para uma transformação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são autovalores e autovetores. Um autovalor de uma transformação linear é um número real tal que existe um vetor não nulo (chamado de autovetor) que satisfaz a equação:
No nosso caso, é uma transformação linear de para , então estamos buscando valores de e vetores que satisfaçam:
Passo 3
Vamos escrever a equação para encontrar os autovalores:
Substituindo a definição de :
Isso nos dá um sistema de equações:
Passo 4
Vamos reorganizar as equações para facilitar:
x + y - lambda x = 0 → (1 - lambda)x + y = 0
2x + 2y - lambda y = 0 → 2x + (2 - lambda)y = 0
Agora temos o sistema:
(1 - lambda)x + y = 0 2x + (2 - lambda)y = 0
Passo 5
Para que exista uma solução não trivial (ou seja, x e y não ambos iguais a zero), o determinante da matriz dos coeficientes deve ser zero. A matriz dos coeficientes é: