Determinar os autovalores e autovetores dos seguintes operadores lineares:
T: R^2 R^2, definida por T(x, y)=(x+y, 2 x+2 y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os autovalores e autovetores do operador linear T: R^2 R^2 definido por T(x, y) = (x + y, 2x + 2y) . Para isso, vamos precisar entender o que são autovalores e autovetores, além de saber como calcular esses valores para uma transformação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são autovalores e autovetores. Um autovalor lambda de uma transformação linear T é um número real tal que existe um vetor não nulo v (chamado de autovetor) que satisfaz a equação:
T(v) = lambda v
No nosso caso, T é uma transformação linear de R^2 para R^2 , então estamos buscando valores de lambda e vetores (x, y) que satisfaçam:
T(x, y) = lambda (x, y)

Passo 3

Vamos escrever a equação para encontrar os autovalores:
T(x, y) = lambda (x, y)
Substituindo a definição de T(x, y) :
(x + y, 2x + 2y) = (lambda x, lambda y)
Isso nos dá um sistema de equações:
x + y = lambda x 2x + 2y = lambda y

Passo 4

Vamos reorganizar as equações para facilitar:
  1. x + y - lambda x = 0 (1 - lambda)x + y = 0
  2. 2x + 2y - lambda y = 0 2x + (2 - lambda)y = 0
Agora temos o sistema:
(1 - lambda)x + y = 0 2x + (2 - lambda)y = 0

Passo 5

Para que exista uma solução não trivial (ou seja, x e y não ambos iguais a zero), o determinante da matriz dos coeficientes deve ser zero. A matriz dos coeficientes é:
1 - lambda & 1 2 & 2 - lambda
Calculamos o determinante:
(1 - lambda)(2 - lambda) - (2)(1) = 0

Passo 6

Vamos calcular o determinante:
(1 - lambda)(2 - lambda) - 2 = (1 cdot 2) - (1 cdot lambda) - (2 cdot lambda) + (lambda)^2 - 2 = 2 - 3lambda + lambda^2 - 2 = lambda^2 - 3lambda
Então, temos:
lambda^2 - 3lambda = 0

Passo 7

Resolvendo a equação quadrática:
lambda(lambda - 3) = 0
Portanto, os autovalores são:
lambda1 = 0 e lambda2 = 3

Passo 8

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um.
Para [\lambda_1 = 0):
Substituímos nas equações:
Simplificando, ambas as equações reduzem para , o que dá .
Autovetor correspondente a :
Para :
Substituímos nas equações:
Simplificando, obtemos , então .
Autovetor correspondente a :

Resposta

Os autovalores são lambda1 = 0 com o autovetor -1 1 e lambda2 = 3 com o autovetor 1 2 .

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