[l1 3] é autovetor de [ll1 & -1 6 & -4] ? Caso seja, determine o autovalor associado.

Passo 1

O enunciado pergunta se o vetor 13 é autovetor da matriz
A = 1 & -16 & -4
e, em caso afirmativo, qual é o autovalor associado. O conteúdo aqui é o conceito de autovalor/autovetor: um vetor vneq0 é autovetor de A se existir lambda tal que
A,v = lambda,v

Passo 2

Vamos calcular o produto A,v com
v = 13
A,v = 1 & -16 & -4 13 = 1cdot1 + (-1)cdot3 [6pt] 6cdot1 + (-4)cdot3 = 1-3 [4pt] 6-12 = -2 [4pt] -6 ]

Passo 3

Agora verificamos se -2-6 é proporcional a 13. De fato,
-2-6 = -2 13
Isso mostra que existe lambda=-2 tal que A,v = lambda,v, logo v é autovetor de A e o autovalor associado é lambda=-2.

Resposta

Sim, 13 é autovetor de A com autovalor lambda = -2.

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