Explique por que uma matrix
pode ter no máximo dois autovalores distintos. Explique por que uma matriz
pode ter no máximo
autovalores distintos.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que uma matriz de dimensão
não pode ter mais do que dois autovalores distintos e, em geral, que uma matriz
não pode ter mais do que
autovalores distintos. O conteúdo principal aqui é o polinômio característico e a propriedade de que um polinômio de grau
tem no máximo
raízes distintas.
Passo 2
Por definição, um escalar
é autovalor de uma matriz
se existir vetor não-nulo
tal que
Rearranjando, isso equivale a
e, para ter solução não-trivial, é necessário e suficiente
O lado esquerdo é um polinômio em
, chamado polinômio característico
Passo 3
Observação fundamental de Álgebra: um polinômio não-nulo de grau
em
pode ter no máximo
raízes distintas (em qualquer corpo, ou seja, no máximo
valores de
que anulem o polinômio). Logo, o número de autovalores distintos de
não ultrapassa o grau de
.
Passo 4
No caso
, escrevemos
que é um polinômio quadrático (grau
). Portanto, por não poder ter mais do que
raízes distintas,
tem no máximo dois autovalores distintos.
Passo 5
No caso geral
, temos
que é um polinômio de grau
. Usando a mesma propriedade,
não pode ter mais do que
raízes distintas, logo a matriz
tem no máximo
autovalores distintos.
Resposta
Uma matriz
gera um polinômio característico de grau
, logo não pode ter mais que
autovalores distintos. De modo análogo, uma matriz
gera um polinômio característico de grau
, logo não pode ter mais que
autovalores distintos.