Explique por que uma matrix 2 times 2 pode ter no máximo dois autovalores distintos. Explique por que uma matriz n times n pode ter no máximo n autovalores distintos.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que uma matriz de dimensão 2times2 não pode ter mais do que dois autovalores distintos e, em geral, que uma matriz ntimes n não pode ter mais do que n autovalores distintos. O conteúdo principal aqui é o polinômio característico e a propriedade de que um polinômio de grau d tem no máximo d raízes distintas.

Passo 2

Por definição, um escalar lambda é autovalor de uma matriz AinK^ntimes n se existir vetor não-nulo v tal que
A,v = lambda,v
Rearranjando, isso equivale a
(A - lambda I)v = 0,
e, para ter solução não-trivial, é necessário e suficiente
det(A - lambda I) = 0
O lado esquerdo é um polinômio em lambda, chamado polinômio característico
p(lambda) = det(A - lambda I)

Passo 3

Observação fundamental de Álgebra: um polinômio não-nulo de grau d em lambda pode ter no máximo d raízes distintas (em qualquer corpo, ou seja, no máximo d valores de lambda que anulem o polinômio). Logo, o número de autovalores distintos de A não ultrapassa o grau de p(lambda).

Passo 4

No caso 2times2, escrevemos
p(lambda)=det!l(A - lambda Ir) =det a11-lambda & a12 a21 & a22-lambda =(a11-lambda)(a22-lambda)-a12a21,
que é um polinômio quadrático (grau 2). Portanto, por não poder ter mais do que 2 raízes distintas, A tem no máximo dois autovalores distintos.

Passo 5

No caso geral ntimes n, temos
p(lambda)=det(A-lambda I)
que é um polinômio de grau n. Usando a mesma propriedade, p(lambda) não pode ter mais do que n raízes distintas, logo a matriz A tem no máximo n autovalores distintos.

Resposta

Uma matriz 2times2 gera um polinômio característico de grau 2, logo não pode ter mais que 2 autovalores distintos. De modo análogo, uma matriz ntimes n gera um polinômio característico de grau n, logo não pode ter mais que n autovalores distintos.

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