[r3 -2 1] é autovetor de [rrr-4 & 3 & 3 2 & -3 & -2 -1 & 0 & -2] ? Caso seja, determine o autovalor associado.

Passo 1

O enunciado nos dá o vetor
v = 3-21
e a matriz
A = -4 & 3 & 3 2 & -3 & -2 -1 & 0 & -2
Queremos saber se v é autovetor de A e, em caso afirmativo, qual é o autovalor correspondente. Para isso, vamos calcular Av e verificar se ele é múltiplo escalar de v.

Passo 2

Vamos multiplicar A pelo vetor v:
Av = -4 & 3 & 3 2 & -3 & -2 -1 & 0 & -2 3 -2 1 = -4cdot3 + 3cdot(-2) + 3cdot1 2cdot3 + (-3)cdot(-2) + (-2)cdot1 -1cdot3 + 0cdot(-2) + (-2)cdot1 = -15 10 -5

Passo 3

Agora observamos que
-1510-5 = -5 3-21 = -5,v
Ou seja, Av = -5,v, o que mostra que v é de fato um autovetor de A.

Passo 4

Como Av = lambda v com lambda = -5, concluímos que o autovalor associado a v é -5.

Resposta

Sim, 3-21 é autovetor de A. O autovalor associado é lambda = -5.

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