sejam u e v autovetores de uma matriz A, com autovalores associados lambda e mu, respectivamente, e sejam c1 e c2 escalares. Defina xk=c1 lambda^k u+c2 mu^k v, com (k=0,1,2, ldots).
calcule A xk a partir da fórmula para xk e mostre que A xk=xk+1. Este cálculo prova que a sequência xk definida no item anterior satisfaz a equação de diferenças xk + 1=A xk com k=0,1,2, ldots

Passo 1

O enunciado diz que u e v são autovetores de uma matriz A com autovalores lambda e mu, respectivamente. Definimos a sequência de vetores
xk = c1,lambda^k,u + c2,mu^k,v,
para k=0,1,2,dots. Queremos mostrar que essa sequência satisfaz a recorrência
xk+1 = A,xk
Os conceitos que vamos usar são a linearidade de A e a definição de autovetor/autovalor.

Passo 2

Começamos calculando A,xk aplicando a linearidade de A:
A,xk = Al(c1,lambda^k,u + c2,mu^k,vr) = c1,lambda^k,A,u ;+; c2,mu^k,A,v

Passo 3

Agora usamos que u e v são autovetores:
A,u = lambda,u, A,v = mu,v
Substituindo em A,xk obtemos
A,xk = c1,lambda^k,(lambda,u) + c2,mu^k,(mu,v) = c1,lambda^k+1,u + c2,mu^k+1,v

Passo 4

Observe que o vetor que apareceu é exatamente xk+1, pois
xk+1 = c1,lambda^k+1,u + c2,mu^k+1,v
Logo concluímos que
A,xk = xk+1,
ou seja, a sequência xk satisfaz a equação de diferenças xk+1=A,xk.

Resposta

A,xk = c1,lambda^k+1,u + c2,mu^k+1,v = xk+1,
logo a sequência satisfaz xk+1=A,xk.

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