sejam
e
autovetores de uma matriz
, com autovalores associados
e
, respectivamente, e sejam
e
escalares. Defina
, com
.
calcule
a partir da fórmula para
e mostre que
. Este cálculo prova que a sequência
definida no item anterior satisfaz a equação de diferenças
com
calcule
Passo 1
O enunciado diz que
e
são autovetores de uma matriz
com autovalores
e
, respectivamente. Definimos a sequência de vetores
para
. Queremos mostrar que essa sequência satisfaz a recorrência
Os conceitos que vamos usar são a linearidade de
e a definição de autovetor/autovalor.
Passo 2
Começamos calculando
aplicando a linearidade de
:
Passo 3
Agora usamos que
e
são autovetores:
Substituindo em
obtemos
Passo 4
Observe que o vetor que apareceu é exatamente
, pois
Logo concluímos que
ou seja, a sequência
satisfaz a equação de diferenças
.
Resposta
logo a sequência satisfaz
.