Com auxílio do Método dos Multiplicadores de Lagrange, encontre os extremos da função
, sujeita ao vínculo
.
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os extremos de
sujeito ao vínculo
com as restrições e
.
O conteúdo aqui é otimização com restrições usando o Método dos Multiplicadores de Lagrange, onde igualamos junto com a própria restrição.
sujeito ao vínculo
com as restrições
O conteúdo aqui é otimização com restrições usando o Método dos Multiplicadores de Lagrange, onde igualamos
Passo 2
Construímos a função de Lagrange
As condições de estacionariedade são
além da restrição
Passo 3
Das equações de estacionariedade obtemos
Passo 4
Igualando as duas expressões para
:
Substituindo na restrição
dá
e então
. Por fim,
.
Passo 5
Para classificar o ponto sobre a curva, note que sobre
podemos escrever
Calculando
vemos que
, logo
tem mínimo em
. À medida que
ou
,
, não existindo máximo.
Resposta
O único extremo é um mínimo em
, onde
Não há máximo sob as condições dadas.