Com auxílio do Método dos Multiplicadores de Lagrange, encontre os extremos da função z= f(x, y), sujeita ao vínculo g(x, y)=0.
z=x+y ; g(x, y)=x y-16, x>0, y>0.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos de
f(x,y)=x+y
sujeito ao vínculo
g(x,y)=xy-16=0
com as restrições x>0 e y>0.
O conteúdo aqui é otimização com restrições usando o Método dos Multiplicadores de Lagrange, onde igualamos nabla f=lambda,nabla g junto com a própria restrição.

Passo 2

Construímos a função de Lagrange
L(x,y,lambda)=f(x,y)-lambda,g(x,y) =x+y-lambda,(xy-16)
As condições de estacionariedade são
partial Lpartial x=1-lambda,y=0, partial Lpartial y=1-lambda,x=0,
além da restrição
xy-16=0

Passo 3

Das equações de estacionariedade obtemos
1-lambda,y=0implies lambda=1y, 1-lambda,x=0implies lambda=1x

Passo 4

Igualando as duas expressões para lambda:
1y=1ximplies x=y
Substituindo na restrição xy=16
x^2=16implies x=4(pois x>0),
e então y=4. Por fim,
lambda=1/x=1/4.

Passo 5

Para classificar o ponto sobre a curva, note que sobre xy=16 podemos escrever
h(x)=x+y=x+16x, x>0
Calculando
h'(x)=1-16x^2, h''(x)=32x^3>0(forall x>0),
vemos que h''(x)>0, logo h tem mínimo em x=4. À medida que xto0^+ ou xto+infty, h(x)to+infty, não existindo máximo.

Resposta

O único extremo é um mínimo em (x,y)=(4,4), onde
zmin=f(4,4)=4+4=8
Não há máximo sob as condições dadas.

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