Com auxílio do Método dos Multiplicadores de Lagrange, encontre os extremos da função z= f(x, y), sujeita ao vínculo g(x, y)=0.
z=3 x+4 y ; g(x, y)=x^2+y^2-1.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos de f(x,y)=3x+4y sujeitos ao vínculo g(x,y)=x^2+y^2-1=0. Vamos usar o método de multiplicadores de Lagrange, que consiste em introduzir o multiplicador lambda e resolver o sistema
nabla f = lambda ,nabla g
junto com a condição g(x,y)=0.

Passo 2

Formamos a função de Lagrange
L(x,y,lambda)=3x+4y ;-;lambdal(x^2+y^2-1r)
As condições de estacionaridade são
partial Lpartial x=3 - 2lambda x = 0, partial Lpartial y=4 - 2lambda y = 0, partial Lpartial lambda= -(x^2+y^2-1) = 0

Passo 3

Das duas primeiras equações isolamos x e y:
3 - 2lambda x = 0 ;Longrightarrow; x = 32lambda, 4 - 2lambda y = 0 ;Longrightarrow; y = 42lambda = 2lambda
Substituindo na condição x^2+y^2=1,
l(tfrac32lambdar)^2 + l(tfrac2lambdar)^2 = 1 ;Longrightarrow; 94lambda^2 + 4lambda^2 = 1 ;Longrightarrow; 254lambda^2 = 1 ;Longrightarrow; lambda^2 = 254 ;Longrightarrow; lambda = pm 52

Passo 4

Para lambda = tfrac52 obtemos
x = 32cdot(5/2) = 35, y = 25/2 = 45,
e o valor de z é
z = 3cdot35 + 4cdot45 = 9+165 = 5,
que corresponde ao máximo.

Passo 5

Para lambda = -tfrac52 obtemos
x = -35, y = -45,
e
z = 3cdotl(-tfrac35r) + 4cdotl(-tfrac45r) = -9+165 = -5,
que corresponde ao mínimo.

Resposta

O máximo de f sujeito a x^2+y^2=1 ocorre em l(tfrac35,tfrac45r) com valor z=5.
O mínimo ocorre em l(-tfrac35,-tfrac45r) com valor z=-5.

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