Verifique que as EDOs a seguir são de variáveis separáveis e resolva-as.
y^prime=e^x-2 y

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a EDO y' = e^x - 2y é de variáveis separáveis e encontrar sua solução geral. Vamos usar o método de separar variáveis e integrar cada lado da equação.

Passo 2

Primeiro, escrevemos y' = dydx e fatoramos o lado direito: dydx = e^x-2y = e^x cdot e^-2y. Agora separamos as variáveis multiplicando ambos os lados de forma que todos os termos em y fiquem de um lado e em x do outro: e^2y,dy = e^x,dx.

Passo 3

Em seguida, integramos ambos os lados. No lado esquerdo temos integral e^2y,dy e no direito integral e^x,dx. Isso dá: 12e^2y = e^x + C, onde C é constante de integração.

Passo 4

Para isolar y, multiplicamos por 2 e aplicamos o logaritmo natural: e^2y = 2e^x + C' e então 2y = lnl(2e^x + C'r). Logo: y = 12lnl(2e^x + C'r), com C' constante arbitrária.

Resposta

A solução geral é y(x)=tfrac12lnl(2e^x + Cr), onde C é uma constante arbitrária.

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