Verifique que as EDOs a seguir são de variáveis separáveis e resolva-as.
x y(y+2)-(y+1) d yd x=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a EDO x,y(y+2)-(y+1)dydx=0 é de variáveis separáveis e encontrar sua solução geral. Vamos usar o método de separação de variáveis: reescrever a equação isolando dy/dx, separar termos em x e y de lados opostos e integrar.

Passo 2

Reescrevendo a EDO isolando dy/dx:
x,y(y+2)-(y+1)dydx=0
passa a ser
(y+1)dydx=x,y(y+2)
Logo
dydx=x,y(y+2)y+1
e as variáveis estão separáveis.

Passo 3

Separamos as variáveis levando todo termo com y para o lado esquerdo e todo termo com x para o lado direito:
y+1y(y+2),dy=x,dx

Passo 4

Para integrar o lado esquerdo, fazemos frações parciais:
y+1y(y+2)=Ay+By+2
Temos
y+1=A(y+2)+By=(A+B)y+2A
Logo 2A=1 e A+B=1 dão A=1/2, B=1/2. Assim
y+1y(y+2)=12l(1y+1y+2r)

Passo 5

Integramos ambos os lados:
integral12l(1y+1y+2r)dy=integral x,dx
12ln|y|+12ln|y+2|=x^22+C

Passo 6

Reúnimos os logs e simplificamos:
lnl|y(y+2)r|=x^2+C'
exponenciando,
y(y+2)=Ce^x^2,
onde C=e^C' é constante geral da integração.

Resposta

A solução geral implícita é ln|y(y+2)|=x^2+C, ou explicitamente y(y+2)=Ce^x^2.

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