Verifique que as EDOs a seguir são de variáveis separáveis e resolva-as.
Passo 1
O enunciado pede para verificar que a EDO é de variáveis separáveis e encontrar sua solução geral. Vamos usar o método de separação de variáveis: reescrever a equação isolando , separar termos em e de lados opostos e integrar.
Passo 2
Reescrevendo a EDO isolando :
passa a ser
Logo
e as variáveis estão separáveis.
Passo 3
Separamos as variáveis levando todo termo com para o lado esquerdo e todo termo com para o lado direito:
Passo 4
Para integrar o lado esquerdo, fazemos frações parciais:
Temos
Logo e dão , . Assim
Passo 5
Integramos ambos os lados:
Passo 6
Reúnimos os logs e simplificamos:
exponenciando,
y(y+2)=Ce^x^2,
onde C=e^C' é constante geral da integração.
Resposta
A solução geral implícita é ln|y(y+2)|=x^2+C, ou explicitamente y(y+2)=Ce^x^2.