Com auxílio do Método dos Multiplicadores de Lagrange, encontre os extremos da função z= f(x, y), sujeita ao vínculo g(x, y)=0.
w=x+y+z ; g(x, y)=x^2+y^2+z^2-1.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos da função de três variáveis
w(x,y,z)=x+y+z
sujeita ao vínculo
g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1=0
O conteúdo necessário é o Método dos Multiplicadores de Lagrange, que serve para otimizar funções com restrições.

Passo 2

Construímos o Lagrangeano
L(x,y,z,lambda)=x+y+z-lambdal(x^2+y^2+z^2-1r)
Aqui lambda é o multiplicador de Lagrange associado à restrição g=0.

Passo 3

Calculamos as condições de estacionaridade anulando as derivadas parciais:
partialLpartial x=1-2lambda x=0, partialLpartial y=1-2lambda y=0, partialLpartial z=1-2lambda z=0,
partialLpartial lambda=-(x^2+y^2+z^2-1)=0

Passo 4

Das três primeiras equações temos
1-2lambda x=0implies x=12lambda, y=12lambda, z=12lambda,
logo x=y=z. Substituindo isso na restrição
x^2+y^2+z^2=1 implies 3x^2=1 implies x=pm1raiz3

Passo 5

Assim os pontos críticos são
l(x,y,zr)=l(tfrac1raiz3,tfrac1raiz3,tfrac1raiz3r) e l(x,y,zr)=l(-tfrac1raiz3,-tfrac1raiz3,-tfrac1raiz3r)
Avaliando w=x+y+z em cada ponto:
wl(tfrac1raiz3,tfrac1raiz3,tfrac1raiz3r) =3cdottfrac1raiz3=raiz3,
wl(-tfrac1raiz3,-tfrac1raiz3,-tfrac1raiz3r) =3cdotl(-tfrac1raiz3r)=-raiz3

Resposta

Ponto de máximo: l(tfrac1raiz3,tfrac1raiz3,tfrac1raiz3r) com wmax=raiz3
Ponto de mínimo: l(-tfrac1raiz3,-tfrac1raiz3,-tfrac1raiz3r) com wmin=-raiz3

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