Com auxílio do Método dos Multiplicadores de Lagrange, encontre os extremos da função
, sujeita ao vínculo
.
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os extremos da função de três variáveis
sujeita ao vínculo
O conteúdo necessário é o Método dos Multiplicadores de Lagrange, que serve para otimizar funções com restrições.
Passo 2
Construímos o Lagrangeano
Aqui
é o multiplicador de Lagrange associado à restrição
.
Passo 3
Calculamos as condições de estacionaridade anulando as derivadas parciais:
Passo 4
Das três primeiras equações temos
logo
. Substituindo isso na restrição
Passo 5
Assim os pontos críticos são
Avaliando
em cada ponto:
Resposta
Ponto de máximo:
com
Ponto de mínimo: com
Ponto de mínimo: