Com auxílio do Método dos Multiplicadores de Lagrange, encontre os extremos da função z= f(x, y), sujeita ao vínculo g(x, y)=0.
w=(x+y+z)^2 ; g(x, y)=x^2+2 y^2+3 z^2-1.

Passo 1

O problema pede para otimizar a função
w = (x + y + z)^2
sujeita ao vínculo
g(x,y,z) = x^2 + 2y^2 + 3z^2 - 1 = 0
Vamos usar o Método dos Multiplicadores de Lagrange, que diz para resolver o sistema
nabla w = lambda,nabla g,
g(x,y,z)=0,
encontrando todos os pontos críticos e depois avaliar quem dá máximo e mínimo.

Passo 2

Formamos a função de Lagrange
L(x,y,z,lambda)= (x+y+z)^2 - lambdal(x^2+2y^2+3z^2-1r)
As condições de extremum são
partialLpartial x=0, partialLpartial y=0, partialLpartial z=0, x^2+2y^2+3z^2=1

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partialLpartial x =2(x+y+z) -2lambda x = 0 ;Longrightarrow; (x+y+z)=lambda x,
partialLpartial y =2(x+y+z) -4lambda y = 0 ;Longrightarrow; (x+y+z)=2lambda y,
partialLpartial z =2(x+y+z) -6lambda z = 0 ;Longrightarrow; (x+y+z)=3lambda z

Passo 4

Chamemos S = x+y+z. Das três equações acima segue
x = Slambda, y = S2lambda, z = S3lambda
Somando essas três expressões deve dar S:
Slambda + S2lambda + S3lambda = S1+tfrac12+tfrac13lambda = S11/6lambda ;overset!=;S
Como Sneq0 (caso S=0 leva a x=y=z=0, que viola o vínculo), obtemos
116lambda=1 Longrightarrow lambda=116

Passo 5

Com lambda=11/6 temos
x = Slambda = 6S11, y = S2lambda = 3S11, z = S3lambda = 2S11
Substituindo no vínculo x^2+2y^2+3z^2=1:
l(tfrac6S11r)^2 +2l(tfrac3S11r)^2 +3l(tfrac2S11r)^2 =66,S^2121=1 ;Longrightarrow; S^2=12166

Passo 6

Logo
S = pm11raiz66,
e os pontos críticos são
l(x,y,zr) =pml(tfrac6raiz66,,tfrac3raiz66,,tfrac2raiz66r)
Nestes pontos
w=(x+y+z)^2=S^2=12166

Passo 7

Como (x+y+z)^2>=0 para todo ponto do vínculo, o mínimo de w é
wmin=0,
atingido sempre que x+y+z=0 e x^2+2y^2+3z^2=1 (infinitos pontos, onde nabla w=0). O máximo ocorre nos dois pontos achados, com
wmax=12166

Resposta

Máximo de w:
wmax=12166 em (x,y,z)=l(tfrac6raiz66,tfrac3raiz66,tfrac2raiz66r) ;e; (x,y,z)=l(-tfrac6raiz66,-tfrac3raiz66,-tfrac2raiz66r)
Mínimo de w:
wmin=0,
atingido em todos os pontos que satisfazem
,x+y+z=0 e x^2+2y^2+3z^2=1.

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