Com auxílio do Método dos Multiplicadores de Lagrange, encontre os extremos da função
, sujeita ao vínculo
.
.
Passo 1
O problema pede para otimizar a função
sujeita ao vínculo
Vamos usar o Método dos Multiplicadores de Lagrange, que diz para resolver o sistema
encontrando todos os pontos críticos e depois avaliar quem dá máximo e mínimo.
Passo 2
Formamos a função de Lagrange
As condições de extremum são
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
Passo 4
Chamemos
. Das três equações acima segue
Somando essas três expressões deve dar
:
Como
(caso
leva a
, que viola o vínculo), obtemos
Passo 5
Com
temos
Substituindo no vínculo
:
Passo 6
Logo
e os pontos críticos são
Nestes pontos
Passo 7
Como
para todo ponto do vínculo, o mínimo de
é
atingido sempre que
e
(infinitos pontos, onde
). O máximo ocorre nos dois pontos achados, com
Resposta
Máximo de
:
Mínimo de
:
atingido em todos os pontos que satisfazem
e
.