- Determine a distância (mínima) da origem à curva
. Por que o Método dos Multiplicadores de Lagrange não se aplica nesse caso?
Passo 1
O enunciado pede a distância mínima da origem à curva
Para isso, vamos minimizar a função distância ao quadrado
sujeita à restrição implícita
Veremos que o ponto de mínimo não satisfaz a condição de regularidade
, o que impede o uso direto do método de Lagrange. Em vez disso, parametrizaremos a curva.
Passo 2
Definimos a distância ao quadrado da origem a um ponto
como
Passo 3
Como a restrição exige
, temos
. Seja
Então
e
, de onde podemos escolher a parametrização
com
(os valores negativos de
cobrem o ramo
).
Passo 4
Substituindo em
, obtemos uma função de uma só variável:
Passo 5
Calculamos a derivada de
:
As raízes são
ou a solução de
. Como
a única solução crítica é
.
Passo 6
Em
temos
e
logo a distância mínima é
atingida no ponto
.
Passo 7
O método dos multiplicadores de Lagrange exige que no ponto ótimo a restrição seja regular, isto é,
Aqui
e em
temos
. Dessa forma, a condição de posto completo falha e o método de Lagrange não se aplica.
Resposta
A distância mínima da origem à curva
é
, obtida no ponto
. O método de Lagrange não se aplica porque
, violando a condição de regularidade da restrição.