1. Determine a distância (mínima) da origem à curva x^2=(y-1)^3. Por que o Método dos Multiplicadores de Lagrange não se aplica nesse caso?

Passo 1

O enunciado pede a distância mínima da origem à curva
x^2 = (y-1)^3
Para isso, vamos minimizar a função distância ao quadrado
f(x,y)=x^2+y^2
sujeita à restrição implícita
g(x,y)=x^2-(y-1)^3=0
Veremos que o ponto de mínimo não satisfaz a condição de regularidade nabla gneq(0,0), o que impede o uso direto do método de Lagrange. Em vez disso, parametrizaremos a curva.

Passo 2

Definimos a distância ao quadrado da origem a um ponto (x,y) como
D^2=x^2+y^2

Passo 3

Como a restrição exige (y-1)^3=x^2>=0, temos y>=1. Seja
t=raizy-1Longrightarrow y=1+t^2
Então (y-1)^3=t^6 e x^2=t^6, de onde podemos escolher a parametrização
x=t^3, y=1+t^2,
com tinR (os valores negativos de t cobrem o ramo x<0).

Passo 4

Substituindo em D^2, obtemos uma função de uma só variável:
D^2(t) = (t^3)^2 + (1+t^2)^2 = t^6 + (1+t^2)^2

Passo 5

Calculamos a derivada de D^2(t):
dD^2dt =6t^5 + 2(1+t^2)cdot2t =6t^5 + 4t(1+t^2) =2tl(3t^4 + 2 + 2t^2r)
As raízes são t=0 ou a solução de 3t^4+2t^2+2=0. Como
3t^4+2t^2+2>0forall,t,
a única solução crítica é t=0.

Passo 6

Em t=0 temos
x=0, y=1,
e
D^2(0)=0^2 + 1^2 = 1,
logo a distância mínima é
D = raiz1 = 1,
atingida no ponto (0,1).

Passo 7

O método dos multiplicadores de Lagrange exige que no ponto ótimo a restrição seja regular, isto é,
nabla g(x,y)neq(0,0)
Aqui
nabla g(x,y) = (2x,,-3(y-1)^2),
e em (0,1) temos nabla g(0,1)=(0,0). Dessa forma, a condição de posto completo falha e o método de Lagrange não se aplica.

Resposta

A distância mínima da origem à curva x^2=(y-1)^3 é 1, obtida no ponto (0,1). O método de Lagrange não se aplica porque nabla g(0,1)=(0,0), violando a condição de regularidade da restrição.

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