1. Se f(x)=integral0^x raizsen t d t, ache o comprimento do arco do gráfico de f do ponto onde x=0 ao ponto onde x=12 pi. (Sugestäo: use a do Exercício 21 e a identidade sen x= =cos (12 pi-x).)

Passo 1

O enunciado define
f(x)=integral0^xraizsen t,dt
e pede o comprimento do arco do gráfico de f de x=0 até x=tfracpi2. O conteúdo aqui é a fórmula de comprimento de arco para uma curva y=f(x), que é
L=integrala^braiz1+l(f'(x)r)^2,dx
Para resolver, vamos precisar:
  1. Calcular f'(x) pelo Teorema Fundamental do Cálculo.
  2. Montar L=integral0^pi/2raiz1+l(f'(x)r)^2,dx.
  3. Avaliar essa integral usando a sugestão sen x=cosl(tfracpi2-xr) e técnicas usuais de integração de funções trigonométricas.

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
f'(x)=raizsen x
Logo o comprimento de arco é
L=integral0^pi/2raiz1+l(raizsen xr)^2,dx =integral0^pi/2raiz1+sen x,dx

Passo 3

Usando a identidade sugerida, escrevemos
1+sen x =1+cosl(tfracpi2-xr)
Fazendo a substituição
u=tfracpi2-x, du=-dx,
quando x=0 temos u=tfracpi2 e quando x=tfracpi2 temos u=0. Assim
L=integral0^pi/2raiz1+sen x,dx =integralpi/2^0raiz1+cos u,(-du) =integral0^pi/2raiz1+cos u,du

Passo 4

Para simplificar a raiz usamos a identidade
1+cos u =2cos^2l(tfracu2r)
Como uin[0,pi/2], cos(u/2)>=0, então
raiz1+cos u =raiz2,cosl(tfracu2r)
Logo
L=integral0^pi/2raiz2,cosl(tfracu2r),du

Passo 5

Basta integrar:
L =raiz2integral0^pi/2cosl(tfracu2r),du
Fazendo a substituição v=tfracu2, du=2,dv, quando u=0 vem v=0 e quando u=tfracpi2 vem v=tfracpi4. Então
L =raiz2integral0^pi/4cos(v),2,dv =2raiz2integral0^pi/4cos v,dv =2raiz2l[sen vr]0^pi/4 =2raiz2l(tfracraiz22-0r) =2

Resposta

O comprimento do arco é 2.

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