- Se
, ache o comprimento do arco do gráfico de
do ponto onde
ao ponto onde
. (Sugestäo: use a do Exercício 21 e a identidade sen
.)
Passo 1
O enunciado define
e pede o comprimento do arco do gráfico de
de
até
. O conteúdo aqui é a fórmula de comprimento de arco para uma curva
, que é
Para resolver, vamos precisar:
- Calcular
pelo Teorema Fundamental do Cálculo. - Montar
. - Avaliar essa integral usando a sugestão
e técnicas usuais de integração de funções trigonométricas.
Passo 2
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
Logo o comprimento de arco é
Passo 3
Usando a identidade sugerida, escrevemos
Fazendo a substituição
quando
temos
e quando
temos
. Assim
Passo 4
Para simplificar a raiz usamos a identidade
Como
,
, então
Logo
Passo 5
Basta integrar:
Fazendo a substituição
,
, quando
vem
e quando
vem
. Então
Resposta
O comprimento do arco é
.