Explique porque a função
f(t)=ll t, & 0 <= t<2 4, & 2<t<5 1 /(t-5), & t>5
não é contínua por partes em [0, infty).

Passo 1

Beleza, então o enunciado nos dá a função
f(t)= t, & 0 <= t < 2, 4, & 2 < t < 5, 1t-5, & t > 5
e pede pra explicar por que ela NÃO é contínua por partes em [0,infty). Vamos usar o conteúdo de continuidade e a definição de “contínua por partes”: a ideia é dividir o intervalo onde a função muda de fórmula (aqui em t=2 e t=5) e verificar se, nesses pontos, os limites laterais existem e são finitos.

Passo 2

Definição de função contínua por partes em [a,b]: existe uma partição
a = x0 < x1 < cdots < xn = b
tal que
  1. em cada intervalo aberto (xi-1,xi) a função é contínua;
  2. em cada ponto de partição xi os limites laterais
    limtto xi^-f(t) e limtto xi^+f(t) existem e são números reais (não infinitos).
    Se faltar esse último requisito (limite lateral não existe ou é infinito), não dá pra chamar de contínua por partes.

Passo 3

Analisando t=2:
  • Para tto2^-, usamos f(t)=t, logo
limtto2^-f(t)=2
  • Para tto2^+, usamos f(t)=4, logo
limtto2^+f(t)=4
Os dois limites existem e são finitos (só que não coincidem, é descontinuidade de salto). Até aqui tudo bem para a definição de contínua por partes, pois exigimos só que os limites laterais existam e sejam finitos.

Passo 4

Analisando t=5:
  • Para tto5^-, f(t)=4, então
limtto5^-f(t)=4
  • Para tto5^+, f(t)=1t-5. Fazendo t=5+h com hto0^+,
limtto5^+f(t) =limhto0^+1h =+infty
Esse limite lateral não é um número real, é infinito. Logo falha o requisito de “limites laterais finitos” na definição de contínua por partes.

Resposta

A função não é contínua por partes em [0,infty) porque, em t=5, o limite à direita diverge para +infty, quebrando a condição de existência de limites laterais finitos.

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