Descubra uma função F(t) de ordem exponencial cuja derivada f(t)=F^prime(t) não seja de ordem exponencial. Descubra uma função f que não seja de ordem exponencial cuja transformada de Laplace exista.

Passo 1

O enunciado pede dois exemplos usando a definição de “ordem exponencial” (isto é, existe M,a>0 tais que lvert g(t)rvert<= M e^a t para t grande).
  1. Uma função F(t) de ordem exponencial cuja derivada f(t)=F'(t) não seja de ordem exponencial.
  2. Uma função f(t) que não seja de ordem exponencial e, ainda assim, cuja transformada de Laplace
Lf(s)=integral0^inftyf(t)e^-s t,dt
exista (converja) para algum s.
Vamos construir ambas usando “pulsos” (funções indicadoras) de altura crescente e largura decrescente.

Passo 2

Definimos para cada ninN
de<an = e^-nn!,
e consideramos a função indicadora do intervalo l[n-tfracde<an2,,n+tfracde<an2r], ou seja
chin(t)= 1,& tinl[n-tfracde<an2,,n+tfracde<an2r], 0,&caso contrário á
Em seguida, definimos
f(t)=sumn=1^inftyn!,chin(t),
e
F(t)=integral0^tf(x),dx

Passo 3

Mostramos que F(t) é de ordem exponencial. Para t>=0, só contam os pulsos com n<= lfloor trfloor, cada um de área
integraln-de<an/2^,n+de<an/2n!,dx = n!,de<an = n!,e^-nn! = e^-n
Logo, para todo t,
F(t)=sumn=1^lfloor trfloore^-n <= sumn=1^inftye^-n =1e-1
Isso mostra que lvert F(t)rvert é até limitado por constante, logo satisfaz lvert F(t)rvert<= M e^a t com, por exemplo, a=0 e M=1/(e-1). Portanto F é de ordem exponencial.

Passo 4

Mostramos que f(t) não é de ordem exponencial. Se existissem A,B>0 tais que
lvert f(t)rvert<= A e^B t para todo (t) grande,
então em particular para t=ninN grande teríamos
n! = f(n)<= A e^B n
Mas sabemos que n! cresce mais rápido que e^Bn, logo para n suficientemente grande essa desigualdade falha. Assim f não é de ordem exponencial.

Passo 5

Agora verificamos que Lf(s) converge para, digamos, s>0.
Lf(s) =integral0^inftyf(t)e^-s t,dt =sumn=1^inftyintegraln-de<an/2^,n+de<an/2n!,e^-s t,dt
Em cada pulso aproximamos e^-s tapprox e^-s n, então
integraln-de<an/2^,n+de<an/2n!,e^-s t,dt <= n!,de<an,e^-s (n-de<an/2) = e^-n,e^-s n,e^sde<an/2 <= C,e^-(s+1)n,
para alguma constante Capprox1. Como sum e^-(s+1)n é geométrica convergente para s+1>0, a transformada de Laplace existe para todo s>-1, em particular para s>0.

Resposta

Uma escolha conveniente é
f(t)=sumn=1^inftyn!,chil[n-tfrace^-n2n!,,n+tfrace^-n2n!r](t), F(t)=integral0^tf(x),dx
  1. F(t) é de ordem exponencial (está até limitada).
  2. f(t)=F'(t) não é de ordem exponencial pois f(n)=n!.
  3. Mesmo assim Lf(s)=sum e^-(s+1)n converge para s>-1.

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