Descubra uma função de ordem exponencial cuja derivada não seja de ordem exponencial. Descubra uma função que não seja de ordem exponencial cuja transformada de Laplace exista.
Passo 1
O enunciado pede dois exemplos usando a definição de “ordem exponencial” (isto é, existe tais que para grande).
Uma função de ordem exponencial cuja derivada não seja de ordem exponencial.
Uma função que não seja de ordem exponencial e, ainda assim, cuja transformada de Laplace
exista (converja) para algum .
Vamos construir ambas usando “pulsos” (funções indicadoras) de altura crescente e largura decrescente.
Passo 2
Definimos para cada
e consideramos a função indicadora do intervalo , ou seja
Em seguida, definimos
f(t)=sumn=1^inftyn!,chin(t),
e
F(t)=integral0^tf(x),dx
Passo 3
Mostramos que F(t) é de ordem exponencial. Para t>=0, só contam os pulsos com n<= lfloor trfloor, cada um de área
Isso mostra que lvert F(t)rvert é até limitado por constante, logo satisfaz lvert F(t)rvert<= M e^a t com, por exemplo, a=0 e M=1/(e-1). Portanto F é de ordem exponencial.
Passo 4
Mostramos que f(t)não é de ordem exponencial. Se existissem A,B>0 tais que
lvert f(t)rvert<= A e^B t para todo (t) grande,
então em particular para t=ninN grande teríamos
n! = f(n)<= A e^B n
Mas sabemos que n! cresce mais rápido que e^Bn, logo para n suficientemente grande essa desigualdade falha. Assim f não é de ordem exponencial.
Passo 5
Agora verificamos que Lf(s) converge para, digamos, s>0.
para alguma constante Capprox1. Como sum e^-(s+1)n é geométrica convergente para s+1>0, a transformada de Laplace existe para todo s>-1, em particular para s>0.