Com auxílio do Método dos Multiplicadores de Lagrange, encontre os extremos da função
, sujeita ao vínculo
.
.
Passo 1
Estamos buscando extremos da função
sujeita à restrição
com
,
,
. O método dos multiplicadores de Lagrange nos diz para formar o Lagrangiano
e depois impor
junto com a restrição.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero. Para
temos
para
e para
Juntamente com
temos quatro equações para quatro incógnitas
.
Passo 3
Como as primeiras três equações são simétricas em
, uma solução natural é assumir
Substituindo na restrição
logo
Verificamos em uma das equações de Lagrange, por exemplo
então
Isso confirma que
é solução do sistema.
Passo 4
O valor de
nesse ponto é
Como
no domínio dado, esse ponto interior fornece o máximo de
.
Passo 5
Para investigar mínimos, note que se qualquer uma das variáveis
ou
for zero, a restrição passa a exigir que o produto dos outros dois seja
, mas o produto
fica zero. Logo no contorno temos
Resposta
O valor máximo de
sob
e
ocorre em
com
O valor mínimo é
atingido sempre que um dos três
for zero.