Com auxílio do Método dos Multiplicadores de Lagrange, encontre os extremos da função z= f(x, y), sujeita ao vínculo g(x, y)=0.
w=x y z ; g(x, y)=x y+y z+x z-2, x >= 0, y >= 0, z >= 0.

Passo 1

Estamos buscando extremos da função w = x,y,z sujeita à restrição
g(x,y,z) = x,y + y,z + x,z - 2 = 0,
com x>=0, y>=0, z>=0. O método dos multiplicadores de Lagrange nos diz para formar o Lagrangiano
L(x,y,z,lambda) = x,y,z ;-;lambda,(x,y + y,z + x,z -2),
e depois impor nabla L=0 junto com a restrição.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero. Para x temos
partial Lpartial x = y,z ;-;lambda,(y+z) = 0
para y
partial Lpartial y = x,z ;-;lambda,(x+z) = 0
e para z
partial Lpartial z = x,y ;-;lambda,(x+y) = 0
Juntamente com
x,y + y,z + x,z = 2
temos quatro equações para quatro incógnitas x,y,z,lambda.

Passo 3

Como as primeiras três equações são simétricas em x,y,z, uma solução natural é assumir
x = y = z = t > 0
Substituindo na restrição
3,t^2 = 2
logo
t = raiz23
Verificamos em uma das equações de Lagrange, por exemplo
y,z = t^2, y+z = 2,t
então
lambda = t^22,t = t2
Isso confirma que x=y=z=raiztfrac23 é solução do sistema.

Passo 4

O valor de w nesse ponto é
wmax = t^3 = l(raiztfrac23r)^3 = l(tfrac23r)^3/2
Como w>=0 no domínio dado, esse ponto interior fornece o máximo de w.

Passo 5

Para investigar mínimos, note que se qualquer uma das variáveis x,y ou z for zero, a restrição passa a exigir que o produto dos outros dois seja 2, mas o produto w=x,y,z fica zero. Logo no contorno temos
wmin = 0

Resposta

O valor máximo de w = x,y,z sob x,y+y,z+x,z=2 e x,y,z>=0 ocorre em
(x,y,z) = l(raiztfrac23,,raiztfrac23,,raiztfrac23r)
com
wmax = l(tfrac23r)^3/2
O valor mínimo é
wmin = 0,
atingido sempre que um dos três x,y,z for zero.

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