Exercício 1.11. Demonstre que
sumk=2 1k(ln k)^p
converge se p>1 e diverge se p <= 1.
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Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série
sumk=2^infty 1k(ln k)^p
converge se p>1 e diverge se p<=1.
O conteúdo principal é teste de integral para séries de termos positivos e decrescentes. Vamos verificar as hipóteses do teste e calcular a integral imprópria associada.

Passo 2

Defina a função
f(x)=1x(ln x)^p,
para x>=2. Note que:
1. f(x)>0 pois x>1 e ln x>0.
2. Para ver que f é decrescente em [2,infty), calcule a derivada
f'(x) =ddxl[x^-1(ln x)^-pr] =-1+p,ln xx^2(ln x)^p+1<0
pois 1+p,ln x>0. Assim, podemos aplicar o teste da integral.

Passo 3

Aplique o teste da integral, comparando a soma à integral imprópria
Faça a substituição
Agora analise os casos:
  • Se ,
    Para faz quando , logo a integral converge. Para , e , diverge.
  • Se ,
    ou seja, diverge.]

Passo 4

Pelo teste da integral, a série sumk=2^infty1/[k(ln k)^p] converge se e somente se a integral converge. Concluímos:

Resposta

A série converge se p>1 e diverge se p<=1.

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