Exercício 1.10. Determine se as séries convergem ou divergem.
15^3 / 2+16^3 / 2+cdots+1(4+n)^3 / 2+cdots

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
15^3/2+16^3/2+cdots+1(4+n)^3/2+cdots
converge ou diverge. O conteúdo principal aqui é teste de convergência de séries pelo teste da série- p e, se necessário, teste de comparação.

Passo 2

Reescrevemos a série indexada de forma mais padrão. Sejam k = 4+n. Quando n varia de 1 a infty, k varia de 5 a infty. Logo a série é
sumk=5^infty 1k^3/2

Passo 3

Aplicamos o teste da série- p: sabemos que
sumk=1^infty 1k^p
converge se, e somente se, p>1. Aqui p = tfrac32 > 1. Como truncar os primeiros termos (os cinco primeiros termos) não afeta a convergência, a soma a partir de k=5 também converge.

Passo 4

Portanto, pela série- p com p=tfrac32, a série original converge.

Resposta

A série converge.

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