Exarcicao 1.12. Encontre o intervalo de convergência e teste a convergência nos extremos desse intervalo:
(a) sumn=0^infty(-1)^n(2 n+1)^2 x^n

Passo 1

O exercício pede pra gente achar onde a série de potências sumn=0^infty(-1)^n(2n+1)^2x^n converge e ver o que acontece nos dois extremos desse intervalo. O conteúdo aqui é séries de potências, e vamos usar principalmente o teste da razão pra achar o raio de convergência, depois checar ponto a ponto.

Passo 2

Pra usar o teste da razão, definimos o termo geral an = (-1)^n(2n+1)^2x^n. O teste diz que, se limntoinftyl|an+1/anr| = L, a série converge se L<1 e diverge se L>1. Calculemos esse limite:

Passo 3

limntoinfty |an+1an| = limntoinfty |(-1)^n+1(2n+3)^2x^n+1(-1)^n(2n+1)^2x^n| = limntoinfty (2n+32n+1)^2|x| = |x|

Passo 4

Como o limite ficou |x|, a série converge (absolutamente) se |x|<1 e diverge se |x|>1. Isso nos dá raio de convergência R=1 e, portanto, o intervalo aberto é (-1,1).

Passo 5

Agora falta testar os extremos. Primeiro em x=1: o termo geral vira (-1)^n(2n+1)^2. Como (2n+1)^2 não tende a zero (na verdade cresce), a série não pode convergir (teste do termo geral).

Passo 6

Em x=-1 o termo vira (-1)^n(2n+1)^2(-1)^n = (2n+1)^2. De novo o termo geral não vai a zero, então diverge também.

Passo 7

Resumindo: a série converge somente pra x tais que -1<x<1, e em x=pm1 diverge.

Resposta

O intervalo de convergência é (-1,1), e a série diverge em x=1 e em x=-1.

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