Exarcicao 1.12. Encontre o intervalo de convergência e teste a convergência nos extremos desse intervalo:
(a)
Passo 1
O exercício pede pra gente achar onde a série de potências converge e ver o que acontece nos dois extremos desse intervalo. O conteúdo aqui é séries de potências, e vamos usar principalmente o teste da razão pra achar o raio de convergência, depois checar ponto a ponto.
Passo 2
Pra usar o teste da razão, definimos o termo geral . O teste diz que, se , a série converge se L<1 e diverge se L>1. Calculemos esse limite:
Como o limite ficou |x|, a série converge (absolutamente) se |x|<1 e diverge se |x|>1. Isso nos dá raio de convergência R=1 e, portanto, o intervalo aberto é (-1,1).
Passo 5
Agora falta testar os extremos. Primeiro em x=1: o termo geral vira (-1)^n(2n+1)^2. Como (2n+1)^2 não tende a zero (na verdade cresce), a série não pode convergir (teste do termo geral).
Passo 6
Em x=-1 o termo vira (-1)^n(2n+1)^2(-1)^n = (2n+1)^2. De novo o termo geral não vai a zero, então diverge também.
Passo 7
Resumindo: a série converge somente pra x tais que -1<x<1, e em x=pm1 diverge.
Resposta
O intervalo de convergência é (-1,1), e a série diverge em x=1 e em x=-1.