Com o auxilio do Teorema de Green, calcule a integral de linha
\oint_{D} 3 x y d x+2 x^{2} d y
Onde D é a regiâo delimitada pela reta y=x e a parábola y=x^{2}-2 x
\frac{27}{4}
\frac{17}{4}
\frac{31}{4}
\frac{13}{4}
\frac{7}{4}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\oint_{D}3x\,y\,dx + 2x^{2}\,dy
usando o Teorema de Green. Esse teorema diz que, para P(x,y)=3xy e Q(x,y)=2x^2,
\oint_{D}P\,dx+Q\,dy = \iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)dA.
Logo, vamos precisar (1) calcular \partial Q/\partial x e \partial P/\partial y, (2) descrever a região D limitada por y=x e y=x^2-2x, e (3) montar e avaliar a integral dupla.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(2x^2) = 4x, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(3xy) = 3x.
Portanto, o integrando do teorema de Green vale
\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 4x - 3x = x.

Passo 3

A região D é dada pelas curvas y=x (reta) e y=x^2-2x (parábola).
Para achar os pontos de interseção, igualamos
x = x^2 - 2x \quad\Longrightarrow\quad x^2 - 3x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x=0\text{ ou }x=3.
Logo x varia de 0 a 3 e, para cada x, y varia de y_{\rm inf}=x^2-2x até y_{\rm sup}=x.

Passo 4

Pelo Teorema de Green,
\oint_{D}3x\,y\,dx + 2x^{2}\,dy = \iint_{D} x \,dA = \int_{x=0}^{3}\!\int_{y=x^2-2x}^{\,x} x\,dy\,dx.
Primeiro fazemos a integral em y:
\int_{y=x^2-2x}^{x} x\,dy = x\bigl[y\bigr]_{y=x^2-2x}^{y=x} = x\bigl(x - (x^2-2x)\bigr) = x(3x - x^2) = 3x^2 - x^3.
Agora integramos em x:
\int_{0}^{3}(3x^2 - x^3)\,dx = \bigl[x^3 - \tfrac{x^4}{4}\bigr]_{0}^{3} = \bigl(27 - \tfrac{81}{4}\bigr) = \frac{108 - 81}{4} = \frac{27}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{27}{4}

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