Encontre o trabalho realizado pela força \vec{f} de (0,0,0) a (1,1,1) sobre o seguimento de caminho curvo C: \vec{r}(t)=t \vec{\imath}+t^{2} \vec{\jmath}+t^{4} \vec{k} para \vec{f}= \left[\frac{1}{x^{2}+1}\right] \vec{j}
\ln 2
\frac{\sqrt{2}}{3}
1 \frac{1}{2}
\ln 4
\frac{\sqrt{2}}{2}

Passo 1

O enunciado pede o trabalho realizado pela força \vec{f}=(0,\tfrac1{x^2+1},0) ao longo da curva C de (0,0,0) até (1,1,1). Isso é um integral de linha do tipo
W=\int_C\vec f\cdot d\vec r.
Vamos parametrizar C e calcular \int \vec f(\vec r(t))\cdot \vec r\,'(t)\,dt.

Passo 2

A curva é dada por
\vec r(t) = (t,\,t^2,\,t^4),
com t variando de 0 (em (0,0,0)) a 1 (em (1,1,1)).
Então
\vec r\,'(t) = \bigl(1,\;2t,\;4t^3\bigr).

Passo 3

Em \vec r(t), temos x=t, logo
\vec f\bigl(\vec r(t)\bigr) =\bigl(0,\;\tfrac1{t^2+1},\;0\bigr).
O produto escalar é
\vec f(\vec r(t))\cdot \vec r\,'(t) =0\cdot1 + \frac1{t^2+1}\cdot(2t) + 0\cdot4t^3 =\frac{2t}{t^2+1}.

Passo 4

O trabalho é
W=\int_{0}^{1}\frac{2t}{t^2+1}\,dt.
Fazendo a substituição u=t^2+1, du=2t\,dt, obtemos
W=\int_{u(0)=1}^{u(1)=2}\frac{1}{u}\,du =\bigl[\ln u\bigr]_{1}^{2} =\ln 2.

Resposta

\ln 2

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