Dada a reta r: X=(-1,1,2)+t(-1,2,-3), t \in \mathbb{R} e os pontos A=(-1,-2,1) e B=(-3,-1,2), ache o ponto de r equidistante de A e B.
Escolha uma opçäo:
O a. (0,-1,5)
b. \left(-\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, 3\right)
c. (2,-5,11)
o d. (-2,3,-1)
e. \left(-\frac{2}{7},-\frac{3}{7}, \frac{29}{7}\right)

Passo 1

O enunciado dá a reta
r: X = (-1,1,2) + t\,(-1,2,-3),\quad t\in\mathbb{R},
e os pontos A = (-1,-2,1) e B = (-3,-1,2). Precisamos encontrar o valor de t tal que o ponto X(t) em r esteja à mesma distância de A e de B. Usaremos a condição
\|X(t) - A\|^2 \;=\;\|X(t) - B\|^2.

Passo 2

Escrevendo as coordenadas de X(t):
X(t) = (x,y,z) = (-1 - t,\;1 + 2t,\;2 - 3t).
Calculamos \|X(t)-A\|^2:
X(t)-A = \bigl((-1-t)-(-1),\;(1+2t)-(-2),\;(2-3t)-1\bigr) = (-t,\;2t+3,\;1-3t),
\|X(t)-A\|^2 = (-t)^2 + (2t+3)^2 + (1-3t)^2 = t^2 + (4t^2+12t+9) + (9t^2-6t+1) =14t^2 + 6t + 10.

Passo 3

Agora \|X(t)-B\|^2:
X(t)-B = \bigl((-1-t)-(-3),\;(1+2t)-(-1),\;(2-3t)-2\bigr) = (2-t,\;2+2t,\;-3t),
\|X(t)-B\|^2 = (2-t)^2 + (2+2t)^2 + (-3t)^2 = (t^2-4t+4) + (4t^2+8t+4) + 9t^2 =14t^2 + 4t + 8.

Passo 4

Igualando as duas expressões:
14t^2 + 6t + 10 = 14t^2 + 4t + 8 \quad\Longrightarrow\quad 6t + 10 = 4t + 8 \quad\Longrightarrow\quad 2t = -2 \quad\Longrightarrow\quad t = -1.
Substituindo em X(t):
X(-1) = \bigl(-1 -(-1),\;1+2(-1),\;2-3(-1)\bigr) = (0,-1,5).

Resposta

a. (0,-1,5)

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