A temperatura de um ponto \mathrm{A}(\mathrm{x} . \mathrm{y}) de uma superficie R é dada por:
T(x, y)=\frac{x y}{1+x^{2}+y^{2}}
Encontre a taxa de variação da temperatura em (1,1) na direção do vetor \vec{r}=2 \vec{i}-\vec{j}
\sqrt{2}
\mid \sqrt{5} / 45
\sqrt{5} / 5
\sqrt{5}
\sqrt{2} / 13

Passo 1

O enunciado dá a temperatura de um ponto (x,y) por
T(x,y)=\frac{xy}{1+x^{2}+y^{2}}
e pede a taxa de variação de T em (1,1) na direção do vetor \vec r=2\vec i-\vec j.
Para isso, vamos usar que a derivada direcional de T na direção do vetor unitário \vec u é
D_{\vec u}T(1,1)=\nabla T(1,1)\cdot \vec u.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de T usando a regra do quociente. Seja D=1+x^{2}+y^{2}.
\frac{\partial T}{\partial x} =\frac{y\,D - xy\,(2x)}{D^{2}} =\frac{y\bigl(1+x^{2}+y^{2}-2x^{2}\bigr)}{D^{2}} =\frac{y(1 - x^{2} + y^{2})}{D^{2}},
\frac{\partial T}{\partial y} =\frac{x\,D - xy\,(2y)}{D^{2}} =\frac{x\bigl(1+x^{2}+y^{2}-2y^{2}\bigr)}{D^{2}} =\frac{x(1 + x^{2} - y^{2})}{D^{2}}.

Passo 3

Em (1,1) temos D=1+1^{2}+1^{2}=3, logo
\frac{\partial T}{\partial x}(1,1) =\frac{1\,(1-1+1)}{3^{2}} =\frac{1}{9}, \quad \frac{\partial T}{\partial y}(1,1) =\frac{1\,(1+1-1)}{3^{2}} =\frac{1}{9}.
Portanto
\nabla T(1,1)=\bigl(\tfrac{1}{9},\tfrac{1}{9}\bigr).

Passo 4

O vetor de direção é \vec r=(2,-1) e seu módulo é
\|\vec r\|=\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{5}.
O vetor unitário correspondente é
\vec u=\frac{\vec r}{\|\vec r\|}=\Bigl(\frac{2}{\sqrt5},-\frac{1}{\sqrt5}\Bigr).

Passo 5

A derivada direcional é
D_{\vec u}T(1,1) =\nabla T(1,1)\cdot \vec u =\Bigl(\tfrac{1}{9},\tfrac{1}{9}\Bigr)\cdot\Bigl(\tfrac{2}{\sqrt5},-\tfrac{1}{\sqrt5}\Bigr) =\frac{1}{9}\,\frac{2-1}{\sqrt5} =\frac{1}{9\sqrt5} =\frac{\sqrt5}{45}.

Resposta

\displaystyle \frac{\sqrt5}{45} (opção \lvert\sqrt5/45\rvert)

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