Determine os pontos da reta r: 2-x=\frac{1-y}{3}=z+1 que distam 6 do plano \pi: x+2 y-2 z+6=0
Escolha uma opção:
\left(\frac{5}{3}, 0,-\frac{2}{3}\right) \in\left(-\frac{1}{3},-6, \frac{4}{3}\right)
b. \left(\frac{4}{3},-1,-\frac{1}{3}\right) e (0,-5,1)
C. (2,1,-1) e \left(-\frac{2}{3},-7, \frac{5}{3}\right)
d. \left(\frac{7}{3}, 2,-\frac{4}{3}\right) e (-1,-8,2)
อ. \left(\frac{8}{3}, 3,-\frac{5}{3}\right) e \left(-\frac{4}{3},-9, \frac{7}{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede os pontos da reta
r:\;2 - x = \frac{1 - y}{3} = z + 1
que estão à distância 6 do plano
\pi:\;x + 2y - 2z + 6 = 0.
Para resolver, vamos usar duas ferramentas: (1) parametrização da reta e (2) fórmula da distância de um ponto ao plano.

Passo 2

Parametrizamos a reta por um parâmetro \lambda. Da igualdade 2-x=\lambda vem
x = 2 - \lambda.
Da igualdade \tfrac{1-y}{3}=\lambda vem
1 - y = 3\lambda\quad\Longrightarrow\quad y = 1 - 3\lambda.
Da igualdade z + 1 = \lambda vem
z = \lambda - 1.
Logo, um ponto genérico de r é
P(\lambda)=\bigl(2-\lambda,\;1-3\lambda,\;\lambda-1\bigr).

Passo 3

A distância de P(\lambda)=(x_0,y_0,z_0) ao plano x+2y-2z+6=0 é
\frac{\bigl|x_0+2y_0-2z_0+6\bigr|}{\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}} =\frac{\bigl|(2-\lambda)+2(1-3\lambda)-2(\lambda-1)+6\bigr|}{3}.
No numerador temos
(2-\lambda)+2-6\lambda-2\lambda+2+6 = 12 -9\lambda,
então a distância é
\frac{|12-9\lambda|}{3} = |4 - 3\lambda|.

Passo 4

Impondo |4 - 3\lambda| = 6, obtemos as duas equações
4-3\lambda = 6 \quad\Longrightarrow\quad \lambda = -\tfrac{2}{3},
4-3\lambda = -6 \quad\Longrightarrow\quad \lambda = \tfrac{10}{3}.

Passo 5

Substituindo \lambda=-\tfrac{2}{3} em P(\lambda)
P_1 = \Bigl(2+\tfrac{2}{3},\;1+2,\;-\tfrac{2}{3}-1\Bigr) = \Bigl(\tfrac{8}{3},\,3,\,-\tfrac{5}{3}\Bigr).
Substituindo \lambda=\tfrac{10}{3}
P_2 = \Bigl(2-\tfrac{10}{3},\;1-10,\;\tfrac{10}{3}-1\Bigr) = \Bigl(-\tfrac{4}{3},\,-9,\;\tfrac{7}{3}\Bigr).
Compare com as opções: esses pontos aparecem na opção final.

Resposta

e

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