Avaliação 02 - Cálculo Diferencial e Integral II-2023
Engenharia de Controle e Automação - Prof. Dr. Lucas A. Caritá IFSP/SJC
Calcule:
Engenharia de Controle e Automação - Prof. Dr. Lucas A. Caritá IFSP/SJC
Calcule:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Cálculo Diferencial e Integral II que envolve integrais duplas. O enunciado pede para calcular a integral dupla de $ \int_{1}^{3} \int_{-1}^{2}\left(3 y-2 x^{2}\right) dx , dy $. Para isso, vamos precisar entender como calcular integrais duplas, que basicamente nos ajudam a encontrar o volume sob uma superfície definida por uma função de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma integral dupla pode ser resolvida em duas etapas: primeiro integrando em relação a uma variável e depois na outra. No nosso caso, vamos integrar primeiro em relação a $ x $ e depois em relação a $ y $.
Passo 3
Vamos começar integrando a função $ 3y - 2x^{2} $ em relação a $ x $, mantendo $ y $ como uma constante. A integral de $ 3y $ em relação a $ x $ é $ 3y \cdot x $, e a integral de $ -2x^{2} $ em relação a $ x $ é $ -\frac{2}{3}x^{3} $. Então, temos:
Como estamos calculando uma integral definida de $ x $ de -1 a 2, vamos substituir esses valores:
Passo 4
Vamos simplificar cada parte:
Para $ x = 2 $:
Então:
Para $ x = -1 $:
Então:
Agora, subtraindo as duas partes:
Passo 5
Agora, vamos integrar o resultado em relação a $ y $ de 1 a 3:
A integral de $ 9y $ em relação a $ y $ é $ \frac{9}{2}y^{2} $, e a integral de $ -6 $ em relação a $ y $ é $ -6y $. Então:
Substituindo os limites:
Para $ y = 3 $:
Para $ y = 1 $:
Subtraindo:
Resposta
O valor da integral dupla é 24.