Avaliação 02 - Cálculo Diferencial e Integral II-2023
Engenharia de Controle e Automação - Prof. Dr. Lucas A. Caritá IFSP/SJC
Calcule:
integral1^3 integral-1^2(3 y-2 x^2) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Cálculo Diferencial e Integral II que envolve integrais duplas. O enunciado pede para calcular a integral dupla de $ \int_{1}^{3} \int_{-1}^{2}\left(3 y-2 x^{2}\right) dx , dy $. Para isso, vamos precisar entender como calcular integrais duplas, que basicamente nos ajudam a encontrar o volume sob uma superfície definida por uma função de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma integral dupla pode ser resolvida em duas etapas: primeiro integrando em relação a uma variável e depois na outra. No nosso caso, vamos integrar primeiro em relação a $ x $ e depois em relação a $ y $.

Passo 3

Vamos começar integrando a função $ 3y - 2x^{2} $ em relação a $ x $, mantendo $ y $ como uma constante. A integral de $ 3y $ em relação a $ x $ é $ 3y \cdot x $, e a integral de $ -2x^{2} $ em relação a $ x $ é $ -\frac{2}{3}x^{3} $. Então, temos:
3y - 2x^2
Como estamos calculando uma integral definida de $ x $ de -1 a 2, vamos substituir esses valores:
x

Passo 4

Vamos simplificar cada parte:
Para $ x = 2 $:
x = 2
3y cdot 2 = 6y
Então:
23(2)^3 = 23 cdot 8 = 163
Para $ x = -1 $:
6y - 163
x = -1
Então:
3y cdot (-1) = -3y
Agora, subtraindo as duas partes:
23(-1)^3 = 23 cdot (-1) = -23

Passo 5

Agora, vamos integrar o resultado em relação a $ y $ de 1 a 3:
y
A integral de $ 9y $ em relação a $ y $ é $ \frac{9}{2}y^{2} $, e a integral de $ -6 $ em relação a $ y $ é $ -6y $. Então:
integral1^3 (9y - 6) dy
Substituindo os limites:
Para $ y = 3 $:
9y
Para $ y = 1 $:
y
Subtraindo:
92y^2

Resposta

O valor da integral dupla é 24.

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