Avaliação 02 - Cálculo Diferencial e Integral II-2023
Engenharia de Controle e Automação - Prof. Dr. Lucas A. Caritá IFSP/SJC
Calcule:
integral1^2 integral0^1 integral-1^1(x e^x y-z x^2) d y d x d z

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla passo a passo! O enunciado pede para calcular:
integral1^2 integral0^1 integral-1^1(x e^x y - z x^2) , dy , dx , dz
Estamos lidando com Cálculo Integral, especificamente com integrais múltiplas. Para resolver isso, vamos integrar a função x e^x y - z x^2 em relação a y , depois a x e, por fim, a z , seguindo os limites de integração fornecidos.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a função em relação a y , mantendo x e z constantes. A integral fica:
integral-1^1 (x e^x y - z x^2) , dy
Vamos separar essa integral em duas partes para facilitar:
integral-1^1 x e^x y , dy - integral-1^1 z x^2 , dy

Passo 3

Vamos resolver a primeira parte:
integral-1^1 x e^x y , dy
Aqui, x é constante em relação a y , então podemos tirar x da integral:
x integral-1^1 e^x y , dy
A integral de e^x y em relação a y é:
e^x yx + C
Aplicando os limites de -1 a 1:
x [ e^x cdot 1 - e^x cdot (-1)x ] = e^x - e^-x

Passo 4

Agora, vamos resolver a segunda parte:
integral-1^1 z x^2 , dy
Aqui, z e x^2 são constantes em relação a y , então a integral é simplesmente:
z x^2 cdot (1 - (-1)) = z x^2 cdot 2 = 2 z x^2

Passo 5

Agora, vamos juntar as duas partes que integramos em relação a y :
e^x - e^-x - 2 z x^2
Agora, nossa integral tripla virou uma dupla, e temos:
integral0^1 integral1^2 ( e^x - e^-x - 2 z x^2 ) , dz , dx

Passo 6

Vamos integrar primeiro em relação a z :
integral1^2 ( e^x - e^-x - 2 z x^2 ) , dz
Essa integral pode ser dividida em três partes:
integral1^2 e^x , dz - integral1^2 e^-x , dz - 2 x^2 integral1^2 z , dz
Integrando cada parte:
  1. e^x é constante em relação a z :
e^x (2 - 1) = e^x
  1. e^-x também é constante em relação a z :
e^-x (2 - 1) = e^-x
  1. Para a última parte:
2 x^2 [ z^22 ]1^2 = 2 x^2 ( 42 - 12 ) = 2 x^2 ( 32 ) = 3 x^2
Então, juntando tudo:
e^x - e^-x - 3 x^2

Passo 7

Agora, restou integrar essa expressão em relação a x :
integral0^1 ( e^x - e^-x - 3 x^2 ) , dx
Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. integral e^x , dx = e^x + C
  2. integral e^-x , dx = -e^-x + C
  3. integral 3 x^2 , dx = x^3 + C
Aplicando os limites de 0 a 1:
[ e^x ]0^1 - [ -e^-x ]0^1 - [ x^3 ]0^1
Calculando cada parte:
  1. e^1 - e^0 = e - 1
  2. -e^-1 + e^0 = -1e + 1
  3. 1^3 - 0^3 = 1
Juntando tudo:
(e - 1) - ( -1e + 1 ) - 1 = e - 1 + 1e - 1 - 1 = e + 1e - 3

Resposta

O valor final da integral tripla é:
e + 1e - 3

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