Seja
um paralelogramo não paralelo a qualquer um dos planos coordenados. Sejam
e
as áreas das projeções de
sobre os três planos coordenados. Mostre que a área de
é
Passo 1
O enunciado nos dá um paralelogramo
no espaço, de lados adjacentes desconhecidos, e define
como as áreas de suas projeções nos três planos coordenados. O conteúdo que vamos usar é o produto vetorial para área de paralelogramo e a relação entre a área de uma projeção e o cosseno do ângulo entre normais.
Passo 2
Sejam
e
os vetores que formam os lados do paralelogramo
. Então a área de
é dada por
O vetor
é ortogonal ao plano de
e tem norma igual à área de
. Denotemos por
os vetores da base canônica.
Passo 3
A projeção de
no plano ortogonal a
tem área
Como
seguimos que
Passo 4
Somando os quadrados das projeções,