Seja S um paralelogramo não paralelo a qualquer um dos planos coordenados. Sejam S1, S2 e S3 as áreas das projeções de S sobre os três planos coordenados. Mostre que a área de S é
raizS1^2+S2^2+S3^2

Passo 1

O enunciado nos dá um paralelogramo S no espaço, de lados adjacentes desconhecidos, e define S1,S2,S3 como as áreas de suas projeções nos três planos coordenados. O conteúdo que vamos usar é o produto vetorial para área de paralelogramo e a relação entre a área de uma projeção e o cosseno do ângulo entre normais.

Passo 2

Sejam u e v os vetores que formam os lados do paralelogramo S. Então a área de S é dada por
S=|utimesv|
O vetor utimesv é ortogonal ao plano de S e tem norma igual à área de S. Denotemos por e1,e2,e3 os vetores da base canônica.

Passo 3

A projeção de S no plano ortogonal a ei tem área
Si = S;l|costhetair| onde thetai=measuredang<=l(utimesv,,eir)
Como
S,costhetai =|utimesv|, (utimesv)cdotei|utimesv| = (utimesv)cdotei,
seguimos que
Si =l|(utimesv)cdoteir| =l|(utimesv)ir|

Passo 4

Somando os quadrados das projeções,
S1^2+S2^2+S3^2 =sumi=1^3l((utimesv)ir)^2 =|utimesv|^2 =S^2

Resposta

S=raizS1^2+S2^2+S3^2

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