Avaliação 02 - Cálculo Diferencial e Integral II-2023
Engenharia de Controle e Automação - Prof. Dr. Lucas A. Caritá IFSP/SJC
Calcule:
integral0^3 integral0^x x^2 e^x y d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral dupla: integral0^3 integral0^x x^2 e^x y , dy , dx. Isso está relacionado ao cálculo integral, mais especificamente a integrais múltiplas. Para resolver, vamos precisar entender como integrar primeiro em relação a y e depois em relação a x.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é em relação a y. A expressão é x^2 e^x y. Como x é considerado constante nessa parte da integração, podemos tratar x^2 como um número constante.

Passo 3

Vamos integrar x^2 e^x y em relação a y. A integral de e^x y em relação a y é e^x yx, porque a derivada de e^x y em relação a y traz um fator de x. Então:
integral x^2 e^x y , dy = x^2 cdot e^x yx = x cdot e^x y

Passo 4

Agora, aplicamos os limites de y de 0 a x:
x cdot e^x cdot x - x cdot e^x cdot 0 = x e^x^2 - x e^0 = x e^x^2 - x
Como e^0 = 1, simplificamos para x e^x^2 - x.

Passo 5

Agora, temos que integrar essa expressão resultante em relação a x de 0 a 3:
integral0^3 (x e^x^2 - x) , dx = integral0^3 x e^x^2 , dx - integral0^3 x , dx

Passo 6

Vamos resolver cada integral separadamente. Primeiro, integral x e^x^2 , dx. Aqui, usamos uma substituição simples: seja u = x^2, então du = 2x , dx, ou $ \frac{du}{2} = x , dx$.
Então:
du2 = x , dx
Agora, avaliamos de 0 a 3:
integral x e^x^2 , dx = 12 integral e^u , du = 12 e^u + C = 12 e^x^2 + C

Passo 7

Agora, a segunda integral: integral0^3 x , dx. Isso é simples:
integral x , dx = 12 x^2 + C
Avaliando de 0 a 3:
12 x^2 |0^3 = 12 (9) - 12 (0) = 92

Passo 8

Agora, juntando tudo:
integral0^3 (x e^x^2 - x) , dx = ( 12 e^9 - 12 ) - 92 = 12 e^9 - 12 - 92 = 12 e^9 - 5

Resposta

A integral dupla é igual a 12 e^9 - 5.

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