Avaliação 02 - Cálculo Diferencial e Integral II-2023
Engenharia de Controle e Automação - Prof. Dr. Lucas A. Caritá IFSP/SJC
Calcule:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral dupla: . Isso está relacionado ao cálculo integral, mais especificamente a integrais múltiplas. Para resolver, vamos precisar entender como integrar primeiro em relação a e depois em relação a .
Passo 2
Primeiro, vamos focar na integral interna, que é em relação a . A expressão é . Como é considerado constante nessa parte da integração, podemos tratar como um número constante.
Passo 3
Vamos integrar em relação a . A integral de em relação a é , porque a derivada de em relação a traz um fator de . Então:
Passo 4
Agora, aplicamos os limites de de 0 a :
Como , simplificamos para .
Passo 5
Agora, temos que integrar essa expressão resultante em relação a de 0 a 3:
Passo 6
Vamos resolver cada integral separadamente. Primeiro, . Aqui, usamos uma substituição simples: seja , então , ou $ \frac{du}{2} = x , dx$.
Então:
Agora, avaliamos de 0 a 3:
Passo 7
Agora, a segunda integral: integral0^3 x , dx. Isso é simples: