Em cada item, determine as derivadas parciais de segunda ordem da função f. Sugestão. Utilize o exercício P 1
(b) f(x, y, z)=x^3 y z^2+3 x^2 y^2 z^2-5 y^3 z^3.

Passo 1

Resumindo: temos a função de três variáveis dada por
f(x,y,z)=x^3yz^2+3x^2y^2z^2-5y^3z^3
O objetivo é calcular todas as derivadas parciais de segunda ordem. Vamos usar o fato de que derivada parcial é feita mantendo as outras variáveis constantes e aplicar regra de potência e linearidade.

Passo 2

Primeiro passo prático: calcular as derivadas parciais de primeira ordem. Aplicando a regra de potência e tratando as outras variáveis como constantes, obtemos
fx=partial fpartial x=3x^2yz^2+6xy^2z^2,
fy=partial fpartial y=x^3z^2+6x^2yz^2-15y^2z^3,
fz=partial fpartial z=2x^3yz+6x^2y^2z-15y^3z^2

Passo 3

Agora derivamos cada expressão de primeira ordem para obter as derivadas parciais de segunda ordem a partir de fx:
fxx=partialpartial x(3x^2yz^2+6xy^2z^2)=6xyz^2+6y^2z^2,
fxy=partialpartial y(3x^2yz^2+6xy^2z^2)=3x^2z^2+12xyz^2,
fxz=partialpartial z(3x^2yz^2+6xy^2z^2)=6x^2yz+12xy^2z

Passo 4

Em seguida, procedemos com as derivadas de segunda ordem a partir de fy:
fyx=partialpartial x(x^3z^2+6x^2yz^2-15y^2z^3)=3x^2z^2+12xyz^2,
fyy=partialpartial y(x^3z^2+6x^2yz^2-15y^2z^3)=6x^2z^2-30yz^3,
fyz=partialpartial z(x^3z^2+6x^2yz^2-15y^2z^3)=2x^3z+12x^2yz-45y^2z^2

Passo 5

Por fim, calculamos as derivadas de segunda ordem a partir de fz:
fzx=partialpartial x(2x^3yz+6x^2y^2z-15y^3z^2)=6x^2yz+12xy^2z,
fzy=partialpartial y(2x^3yz+6x^2y^2z-15y^3z^2)=2x^3z+12x^2yz-45y^2z^2,
fzz=partialpartial z(2x^3yz+6x^2y^2z-15y^3z^2)=2x^3y+6x^2y^2-30y^3z

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem são:
fxx&=6xyz^2+6y^2z^2,&fxy&=3x^2z^2+12xyz^2,&fxz&=6x^2yz+12xy^2z, fyx&=3x^2z^2+12xyz^2,&fyy&=6x^2z^2-30yz^3,&fyz&=2x^3z+12x^2yz-45y^2z^2, fzx&=6x^2yz+12xy^2z,&fzy&=2x^3z+12x^2yz-45y^2z^2,&fzz&=2x^3y+6x^2y^2-30y^3z

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