Avaliação 02 - Cálculo Diferencial e Integral II-2023
Engenharia de Controle e Automação - Prof. Dr. Lucas A. Caritá IFSP/SJC
Calcule:
integral1^2 integraly^y^2 integral0^ln (x) y e^z d z d x d y

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral tripla:
integral1^2 integraly^y^2 integral0^ln (x) y e^z , dz , dx , dy
Esse exercício está relacionado a Cálculo Diferencial e Integral II, especificamente com integração múltipla em várias variáveis. Para resolver isso, vamos seguir passo a passo, integrando primeiro em relação a z , depois x e, por fim, y .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a integral mais interna, que é em relação a z :
integral0^ln(x) y e^z , dz
Aqui, y é uma constante em relação a z , então podemos tirar y de fora da integral:
y integral0^ln(x) e^z , dz
A antiderivada de e^z é e^z , então:
y [ e^z ]0^ln(x) = y ( e^ln(x) - e^0 )
Sabemos que e^ln(x) = x e e^0 = 1 , então:
y (x - 1)

Passo 3

Agora, substituímos o resultado da integral em relação a z na integral de x :
integraly^y^2 y (x - 1) , dx
Podemos distribuir o y :
y integraly^y^2 (x - 1) , dx
Vamos integrar termo a termo:
y ( integraly^y^2 x , dx - integraly^y^2 1 , dx )
Calculando cada parte:
integral x , dx = x^22
integral 1 , dx = x
Aplicando os limites:
y ( [ x^22 ]y^y^2 - [ x ]y^y^2 ) = y ( (y^2)^22 - y^22 - y^2 + y )
Simplificando:
y ( y^4 - y^22 - y^2 + y ) = y ( y^4 - 3y^2 + 2y2 ) = y^5 - 3y^3 + 2y^22

Passo 4

Agora, vamos integrar o resultado em relação a y :
integral1^2 y^5 - 3y^3 + 2y^22 , dy = 12 integral1^2 y^5 - 3y^3 + 2y^2 , dy
Integrando termo a termo:
12 ( y^66 - 3y^44 + 2y^33 ) g|1^2
Calculando nos limites:
Para y = 2 :
12 ( 646 - 484 + 163 ) = 12 ( 323 - 12 + 163 ) = 12 ( 16 - 12 ) = 12 times 4 = 2
Para y = 1 :
12 ( 16 - 34 + 23 ) = 12 ( 212 - 912 + 812 ) = 12 ( 112 ) = 124
Subtraindo os valores:
2 - 124 = 4824 - 124 = 4724

Resposta

O valor da integral tripla é 4724 .

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