Avaliação 02 - Cálculo Diferencial e Integral II-2023
Engenharia de Controle e Automação - Prof. Dr. Lucas A. Caritá IFSP/SJC
Faça o que se pede:
Calcule
, onde
é a região limitada pelas circunferências
e
.
Engenharia de Controle e Automação - Prof. Dr. Lucas A. Caritá IFSP/SJC
Faça o que se pede:
Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral dupla de
sobre a região
, que está entre as circunferências de raio 1 e 3, ou seja,
e
. Isso está dentro da matéria de Cálculo Diferencial e Integral, especificamente em integração dupla usando coordenadas polares. Para resolver isso, vamos mudar para coordenadas polares, que facilitam quando trabalhamos com círculos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, qualquer ponto é representado por
, onde
é a distância do ponto à origem e
é o ângulo em relação ao eixo x. Além disso, a área diferencial
em coordenadas polares é
. Isso é importante porque vai substituir
na nossa integral.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a função que estamos integrando,
, em coordenadas polares. Como
, a função fica
. Então, a nossa integral dupla fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Para integrar
, fazemos uma substituição simples. Vamos deixar
, então
, ou seja,
. Assim, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral externa em relação a
:
Passo 6
Finalmente, multiplicamos os resultados das integrais interna e externa:
Resposta
O valor da integral dupla é
.