Avaliação 02 - Cálculo Diferencial e Integral II-2023
Engenharia de Controle e Automação - Prof. Dr. Lucas A. Caritá IFSP/SJC
Faça o que se pede:
Calcule integral duplaR e^x^2+y^2 d A, onde R é a região limitada pelas circunferências x^2+y^2=1 e x^2+y^2=9.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral dupla de e^x^2+y^2 sobre a região R , que está entre as circunferências de raio 1 e 3, ou seja, x^2+y^2=1 e x^2+y^2=9 . Isso está dentro da matéria de Cálculo Diferencial e Integral, especificamente em integração dupla usando coordenadas polares. Para resolver isso, vamos mudar para coordenadas polares, que facilitam quando trabalhamos com círculos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, qualquer ponto é representado por (r, theta) , onde r é a distância do ponto à origem e theta é o ângulo em relação ao eixo x. Além disso, a área diferencial dA em coordenadas polares é r , dr , dtheta . Isso é importante porque vai substituir dA na nossa integral.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a função que estamos integrando, e^x^2+y^2 , em coordenadas polares. Como x^2+y^2 = r^2 , a função fica e^r^2 . Então, a nossa integral dupla fica:
integral duplaR e^x^2+y^2 , dA = integral0^2pi integral1^3 e^r^2 cdot r , dr , dtheta

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a r :
integral1^3 e^r^2 cdot r , dr
Para integrar e^r^2 cdot r , fazemos uma substituição simples. Vamos deixar u = r^2 , então du = 2r , dr , ou seja, r , dr = 12 du . Assim, a integral fica:
12 integralu=1^u=9 e^u , du = 12 [ e^u ]1^9 = 12 ( e^9 - e^1 )

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral externa em relação a theta :
integral0^2pi dtheta = 2pi

Passo 6

Finalmente, multiplicamos os resultados das integrais interna e externa:
12 ( e^9 - e ) cdot 2pi = pi ( e^9 - e )

Resposta

O valor da integral dupla é pi ( e^9 - e ) .

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