Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias:
(1+t^2) y^prime+4 ty=(1+t^2)^-2

Passo 1

O enunciado dá a equação
(1+t^2),y' + 4t,y = (1+t^2)^-2
Este é um caso de equação diferencial linear de primeira ordem. Primeiro vamos pôr na forma padrão
y' + p(t),y = q(t)
Dividindo tudo por (1+t^2) obtemos
y' + 4t1+t^2,y = (1+t^2)^-3

Passo 2

Na equação padrão temos
p(t) = 4t1+t^2
O fator integrante mu(t) é dado por
mu(t) = exp!l(integral p(t),dtr) = exp!l(integral 4t1+t^2,dtr)
Fazendo a substituição u=1+t^2, du=2t,dt, vem
integral 4t1+t^2,dt = 2integral duu = 2ln|u| = 2ln(1+t^2),
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mu(t) = e^2ln(1+t^2) = (1+t^2)^2

Passo 3

Multiplicamos a equação padrão por mu(t). Assim,
(1+t^2)^2y' + (1+t^2)^2,4t1+t^2,y = (1+t^2)^2,(1+t^2)^-3
Isso simplifica para
(1+t^2)^2y' + 4t(1+t^2),y = (1+t^2)^-1
O lado esquerdo é precisamente a derivada de mu(t),y:
ddtl[(1+t^2)^2yr] = (1+t^2)^-1

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a t:
(1+t^2)^2y = integral (1+t^2)^-1,dt + C
Sabemos que
integral dt1+t^2 = arctan t,
então
(1+t^2)^2y = arctan t + C

Passo 5

Isolando y, obtemos a solução geral
y(t) = arctan t + C(1+t^2)^2

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y(t) = arctan t + C(1+t^2)^2,
onde C é a constante de integração.

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