Calcule a integral
integral0^pi x^2 cdot sen(x) d x

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral definida de x^2 cdot sin(x) de 0 até pi . Isso está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções polinomiais e trigonométricas. Para resolver isso, vamos usar o método de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa integral será u e qual será dv . Geralmente, escolhemos u como a parte que simplifica ao derivar.

Passo 3

Vamos escolher:
u = x^2 Rightarrow du = 2x , dx
dv = sin(x) , dx Rightarrow v = -cos(x)
Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes.

Passo 4

Substituindo na fórmula:
integral x^2 sin(x) , dx = -x^2 cos(x) + integral 2x cos(x) , dx
Agora, temos uma nova integral: integral 2x cos(x) , dx . Precisamos aplicar integração por partes de novo.

Passo 5

Para a nova integral integral 2x cos(x) , dx , escolhemos:
u = 2x Rightarrow du = 2 , dx
dv = cos(x) , dx Rightarrow v = sin(x)
Aplicando a fórmula novamente:

Passo 6

integral 2x cos(x) , dx = 2x sin(x) - integral 2 sin(x) , dx
A última integral é simples de calcular.

Passo 7

Calculando integral 2 sin(x) , dx :
integral 2 sin(x) , dx = -2 cos(x)
Substituindo de volta:

Passo 8

Voltando para a expressão anterior:
integral 2x cos(x) , dx = 2x sin(x) + 2 cos(x)
Agora, substituímos isso na nossa primeira integração por partes:

Passo 9

Voltando para a primeira parte:
integral x^2 sin(x) , dx = -x^2 cos(x) + 2x sin(x) + 2 cos(x) + C
Agora, aplicamos os limites de 0 a pi .

Passo 10

Calculando nos limites:
[ -x^2 cos(x) + 2x sin(x) + 2 cos(x) ]0^pi
Primeiro, para x = pi :
- pi^2 cos(pi) + 2pi sin(pi) + 2 cos(pi) = -pi^2 (-1) + 0 + 2(-1) = pi^2 - 2
Agora, para x = 0 :
-0^2 cos(0) + 2 cdot 0 cdot sin(0) + 2 cos(0) = 0 + 0 + 2(1) = 2

Resposta

Subtraindo os valores:
pi^2 - 2 - 2 = pi^2 - 4
Então, o valor da integral é pi^2 - 4 .

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