Avaliação 1
Determine se cada afirmação a seguir é falsa ou verdadeira, justifique. (Atribuição de V ou F sem justificação não será pontuada)
Se lim x 0 f(x)=0, então lim x 0 f(x) cdot g(x) = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma afirmação que fala sobre limites de funções, que é um tópico de Cálculo. A questão pergunta se, se o limite de f(x) quando x se aproxima de 0 é igual a 0, então o limite de f(x) cdot g(x) também é 0. Vamos precisar entender como os limites funcionam, especialmente quando envolvem produtos de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa limx to 0 f(x) = 0 . Isso quer dizer que, conforme x se aproxima de 0, o valor de f(x) fica cada vez menor, se aproximando de 0.
Agora, a gente quer saber o que acontece com o produto f(x) cdot g(x) nesse mesmo ponto. Em geral, sabemos que se dois limites existem, o limite do produto é o produto dos limites. Ou seja, se limx to a f(x) = L e limx to a g(x) = M , então limx to a f(x) cdot g(x) = L cdot M .

Passo 3

No nosso caso, sabemos que L = 0 porque limx to 0 f(x) = 0 . Mas o que acontece se limx to 0 g(x) não existe ou é infinito? Se g(x) cresce muito rápido conforme x se aproxima de 0, o produto f(x) cdot g(x) pode não tender a 0, mesmo que f(x) esteja indo para 0.

Passo 4

Vamos pensar em um exemplo prático. Suponha que f(x) = x e g(x) = 1x . Então:
limx to 0 f(x) = limx to 0 x = 0
Mas,
limx to 0 f(x) cdot g(x) = limx to 0 x cdot 1x = limx to 0 1 = 1
Nesse caso, mesmo limx to 0 f(x) = 0 , o limite do produto não é 0, mas sim 1.

Passo 5

Esse exemplo mostra que a afirmação não é sempre verdadeira. Se g(x) não tem um limite definido ou cresce de forma que compense o fato de f(x) estar indo para 0, o limite do produto pode ser diferente de 0.

Resposta

Falso. Embora limx to 0 f(x) = 0 , sem informações sobre g(x) , o limite de f(x) cdot g(x) pode não ser 0. Por exemplo, se f(x) = x e g(x) = 1x , o limite do produto é 1, não 0.

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