Avaliação 1
Determine se cada afirmação a seguir é falsa ou verdadeira, justifique. (Atribuição de V ou F sem justificação não será pontuada)
Se
, então
Determine se cada afirmação a seguir é falsa ou verdadeira, justifique. (Atribuição de V ou F sem justificação não será pontuada)
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma afirmação que fala sobre limites de funções, que é um tópico de Cálculo. A questão pergunta se, se o limite de
quando
se aproxima de 0 é igual a 0, então o limite de
também é 0. Vamos precisar entender como os limites funcionam, especialmente quando envolvem produtos de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa
. Isso quer dizer que, conforme
se aproxima de 0, o valor de
fica cada vez menor, se aproximando de 0.
Agora, a gente quer saber o que acontece com o produto
nesse mesmo ponto. Em geral, sabemos que se dois limites existem, o limite do produto é o produto dos limites. Ou seja, se
e
, então
.
Passo 3
No nosso caso, sabemos que
porque
. Mas o que acontece se
não existe ou é infinito? Se
cresce muito rápido conforme
se aproxima de 0, o produto
pode não tender a 0, mesmo que
esteja indo para 0.
Passo 4
Vamos pensar em um exemplo prático. Suponha que
e
. Então:
Mas,
Nesse caso, mesmo
, o limite do produto não é 0, mas sim 1.
Passo 5
Esse exemplo mostra que a afirmação não é sempre verdadeira. Se
não tem um limite definido ou cresce de forma que compense o fato de
estar indo para 0, o limite do produto pode ser diferente de 0.
Resposta
Falso. Embora
, sem informações sobre
, o limite de
pode não ser 0. Por exemplo, se
e
, o limite do produto é 1, não 0.