Determine o volume máximo de uma caixa retangular cujas arestas são paralelas aos eixos coordenados e que está inscrita no elipsóide de equação x^wed>= 2 / 16+y^wed>= 2 / 81+z^wed>= 2 / 169=1.
Escolha uma opção:
a.
416 raiz 3
b.
1440 raiz 3
c.
104 raiz 3
d.
4480 / 3 raiz 3
e.
1560 raiz 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para encontrar o volume máximo de uma caixa retangular que está dentro de um elipsoide com a equação x^216 + y^281 + z^2169 = 1 . Vamos usar conceitos de geometria e otimização para achar essa resposta. Precisaremos lembrar como funciona o cálculo de volume de uma caixa e como maximizar essa função usando derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a forma da caixa. Como a caixa está inscrita no elipsoide e suas arestas são paralelas aos eixos coordenados, podemos assumir que os vértices da caixa têm coordenadas (pm x, pm y, pm z) .

Passo 3

O volume V da caixa é dado por:
V = 8xyz
Isso porque a caixa se estende de -x a x no eixo x, -y a y no eixo y, e -z a z no eixo z. Multiplicando as dimensões: 2x times 2y times 2z = 8xyz .

Passo 4

Como a caixa está dentro do elipsoide, os pontos (x, y, z) devem satisfazer a equação do elipsoide:
x^216 + y^281 + z^2169 = 1
Queremos maximizar V = 8xyz sujeito a essa restrição.

Passo 5

Para maximizar o volume, usamos o método dos multiplicadores de Lagrange. Definimos a função Lagrangiana:
L(x, y, z, lambda) = 8xyz - lambda ( x^216 + y^281 + z^2169 - 1 )

Passo 6

Calculamos as derivadas parciais e as igualamos a zero:
partial Lpartial x = 8yz - lambda ( 2x16 ) = 0 partial Lpartial y = 8xz - lambda ( 2y81 ) = 0 partial Lpartial z = 8xy - lambda ( 2z169 ) = 0 partial Lpartial lambda = x^216 + y^281 + z^2169 - 1 = 0

Passo 7

Resolvendo as primeiras três equações para lambda , temos:
lambda = 8yz times 162x = 64yzx
lambda = 8xz times 812y = 324xzy
lambda = 8xy times 1692z = 676xyz
Igualando as expressões de lambda :
64yzx = 324xzy Rightarrow 64y^2 = 324x^2 Rightarrow y = 9x4
64yzx = 676xyz Rightarrow 64z^2 = 676x^2 Rightarrow z = 13x4

Passo 8

Agora, substituímos y = 9x4 e z = 13x4 na equação do elipsoide:
x^216 + (9x4)^281 + (13x4)^2169 = 1
Simplificando:
x^216 + 81x^216 times 81 + 169x^216 times 169 = x^216 + x^216 + x^216 = 3x^216 = 1
Portanto,
x^2 = 163 Rightarrow x = 4raiz3

Passo 9

Agora encontramos y e z :
y = 9x4 = 9 times 4raiz34 = 9raiz3 = 3raiz3
z = 13x4 = 13 times 4raiz34 = 13raiz3 = 13raiz33

Passo 10

Finalmente, calculamos o volume máximo:
V = 8xyz = 8 times 4raiz3 times 3raiz3 times 13raiz33 = 8 times 4 times 13 times (raiz3) times raiz3raiz3 = 8 times 4 times 13 times raiz3 = 416raiz3

Resposta

a. 416 raiz3

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