Determine o volume máximo de uma caixa retangular cujas arestas são paralelas aos eixos coordenados e que está inscrita no elipsóide de equação .
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
e.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para encontrar o volume máximo de uma caixa retangular que está dentro de um elipsoide com a equação . Vamos usar conceitos de geometria e otimização para achar essa resposta. Precisaremos lembrar como funciona o cálculo de volume de uma caixa e como maximizar essa função usando derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a forma da caixa. Como a caixa está inscrita no elipsoide e suas arestas são paralelas aos eixos coordenados, podemos assumir que os vértices da caixa têm coordenadas .
Passo 3
O volume da caixa é dado por:
Isso porque a caixa se estende de a no eixo x, a no eixo y, e a no eixo z. Multiplicando as dimensões: .
Passo 4
Como a caixa está dentro do elipsoide, os pontos devem satisfazer a equação do elipsoide:
Queremos maximizar sujeito a essa restrição.
Passo 5
Para maximizar o volume, usamos o método dos multiplicadores de Lagrange. Definimos a função Lagrangiana:
Passo 6
Calculamos as derivadas parciais e as igualamos a zero:
Passo 7
Resolvendo as primeiras três equações para lambda , temos: