Questão 5: (2 pontos) Determine a derivada direcional de f no ponto P na direção indicada: f(x, y)=raiz9 x^2-4 y^2-1 ; P(3,-2) ; a=i+4 j.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre derivadas direcionais! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função f(x, y) = raiz9x^2 - 4y^2 - 1 no ponto P(3, -2) na direção do vetor a = i + 4j . Para isso, vamos precisar calcular o gradiente da função e o vetor direção unitário da direção dada. Depois, usamos o produto escalar desses dois vetores para encontrar a derivada direcional.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função f(x, y) . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de f em relação a x e y .
A função é f(x, y) = raiz9x^2 - 4y^2 - 1 . Para achar as derivadas parciais:
  • Derivada parcial em relação a x :
fx = ddx raiz9x^2 - 4y^2 - 1 = 12raiz9x^2 - 4y^2 - 1 cdot 18x = 9xraiz9x^2 - 4y^2 - 1
  • Derivada parcial em relação a y :
fy = ddy raiz9x^2 - 4y^2 - 1 = 12raiz9x^2 - 4y^2 - 1 cdot (-8y) = -4yraiz9x^2 - 4y^2 - 1
Então, o gradiente é:
nabla f = ( 9xraiz9x^2 - 4y^2 - 1, -4yraiz9x^2 - 4y^2 - 1 )

Passo 3

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto P(3, -2) . Substituindo x = 3 e y = -2 na expressão do gradiente:
Primeiro, calculamos o denominador:
raiz9(3)^2 - 4(-2)^2 - 1 = raiz81 - 16 - 1 = raiz64 = 8
Então:
fx(3, -2) = 9 cdot 38 = 278
fy(3, -2) = -4 cdot (-2)8 = 88 = 1
Portanto, o gradiente no ponto P(3, -2) é:
nabla f(3, -2) = ( 278, 1 )

Passo 4

Agora, vamos encontrar o vetor direção unitário na direção do vetor a = i + 4j . Primeiro, calculamos o módulo de a :
| a | = raiz1^2 + 4^2 = raiz1 + 16 = raiz17
Então, o vetor direção unitário u é:
u = ( 1raiz17, 4raiz17 )

Passo 5

Por fim, a derivada direcional de f no ponto P(3, -2) na direção de a é o produto escalar do gradiente no ponto com o vetor direção unitário:
Duf = nabla f(3, -2) cdot u = ( 278, 1 ) cdot ( 1raiz17, 4raiz17 ) = 278 cdot 1raiz17 + 1 cdot 4raiz17 = 278raiz17 + 4raiz17
Vamos simplificar:
278raiz17 + 4raiz17 = 27 + 328raiz17 = 598raiz17 = 59raiz17136

Resposta

A derivada direcional de f no ponto P(3, -2) na direção de a = i + 4j é 59raiz17136 .

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