Questão 5: (2 pontos) Determine a derivada direcional de
no ponto
na direção indicada:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre derivadas direcionais! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
. Para isso, vamos precisar calcular o gradiente da função e o vetor direção unitário da direção dada. Depois, usamos o produto escalar desses dois vetores para encontrar a derivada direcional.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a
e
.
A função é
. Para achar as derivadas parciais:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Então, o gradiente é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
. Substituindo
e
na expressão do gradiente:
Primeiro, calculamos o denominador:
Então:
Portanto, o gradiente no ponto
é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o vetor direção unitário na direção do vetor
. Primeiro, calculamos o módulo de
:
Então, o vetor direção unitário
é:
Passo 5
Por fim, a derivada direcional de
no ponto
na direção de
é o produto escalar do gradiente no ponto com o vetor direção unitário:
Vamos simplificar:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção de
é
.