I Avaliação

  1. a) Encontre a curvatura da hélice circular \gamma(t)=\cos t \vec{i}+\operatorname{sen} t \vec{j}+t \vec{k} em t=0. (1,5ptos)
    b) Encontre os vetores tangente e normal da hélice circular \gamma(t)=\cos t \vec{\imath}+\operatorname{sen} t \vec{\jmath}+t \vec{k} \mathrm{em} t=0. (1pto)

Passo 1

O enunciado dá a curva hélice circular
\gamma(t)=\cos t\,\vec\imath+\sin t\,\vec\jmath+t\,\vec k
e pede, em t=0,
  1. a curvatura \kappa, usando a fórmula
\kappa(t)=\frac{\bigl\|\gamma'(t)\times\gamma''(t)\bigr\|}{\|\gamma'(t)\|^3},
  1. o vetor unitário tangente \mathbf T(t)=\gamma'(t)/\|\gamma'(t)\|,
  2. o vetor unitário normal \mathbf N(t)=\mathbf T'(t)/\|\mathbf T'(t)\|.

Passo 2

Calculamos as derivadas primeira e segunda de \gamma:
\gamma'(t)=(-\sin t)\,\vec\imath+(\cos t)\,\vec\jmath+1\,\vec k,
\gamma''(t)=(-\cos t)\,\vec\imath+(-\sin t)\,\vec\jmath+0\,\vec k.
Em t=0 isso vale
\gamma'(0)=(0,1,1), \quad \gamma''(0)=(-1,0,0).

Passo 3

Usando
\gamma'(0)\times\gamma''(0) =(0,1,1)\times(-1,0,0) =(0,-1,1),
temos \|\gamma'(0)\times\gamma''(0)\|=\sqrt{0^2+(-1)^2+1^2}=\sqrt{2}
e \|\gamma'(0)\|=\sqrt{0^2+1^2+1^2}=\sqrt{2}.
Logo
\kappa(0) =\frac{\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^3} =\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} =\tfrac12.

Passo 4

O vetor tangente unitário em t=0 é
\mathbf T(0) =\frac{\gamma'(0)}{\|\gamma'(0)\|} =\frac{(0,1,1)}{\sqrt{2}} =\bigl(0,\tfrac1{\sqrt2},\tfrac1{\sqrt2}\bigr).

Passo 5

Para achar o normal, derivamos \mathbf T(t). Note que
\mathbf T(t) =\frac{(-\sin t,\cos t,1)}{\sqrt2},
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\mathbf T'(t) =\frac{(-\cos t,-\sin t,0)}{\sqrt2},
e em t=0:
\mathbf T'(0)=\bigl(-\tfrac1{\sqrt2},0,0\bigr), \quad \|\mathbf T'(0)\|=\tfrac1{\sqrt2}.
Assim o vetor normal unitário é
\mathbf N(0) =\frac{\mathbf T'(0)}{\|\mathbf T'(0)\|} =\frac{(-\tfrac1{\sqrt2},0,0)}{\tfrac1{\sqrt2}} =(-1,0,0).

Resposta

\kappa(0)=\tfrac12
\mathbf T(0)=\bigl(0,\tfrac1{\sqrt2},\tfrac1{\sqrt2}\bigr)
\mathbf N(0)=(-1,0,0)

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