Calcule a integral \int_{-1}^{1} \frac{d x}{x^{2}+2 x+5}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-1}^{1}\frac{dx}{x^{2}+2x+5}.
O conteúdo é integração de função racional pelo método de completar o quadrado e uso da fórmula
\int\frac{du}{u^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a}\arctan\!\bigl(\tfrac{u}{a}\bigr)+C.

Passo 2

Começamos completando o quadrado no denominador:
x^{2}+2x+5 = (x+1)^{2}+4.

Passo 3

Fazemos a substituição
u = x+1,\quad du = dx.
Quando x=-1, u=0; quando x=1, u=2. Assim
\int_{-1}^{1}\frac{dx}{x^{2}+2x+5} = \int_{0}^{2}\frac{du}{u^{2}+4}.

Passo 4

Usamos a fórmula com a=2:
\int\frac{du}{u^{2}+4} = \frac{1}{2}\arctan\!\bigl(\tfrac{u}{2}\bigr)+C.

Passo 5

Avaliar de 0 a 2:
\int_{0}^{2}\frac{du}{u^{2}+4} = \left[\frac{1}{2}\arctan\!\bigl(\tfrac{u}{2}\bigr)\right]_{0}^{2} = \frac{1}{2}\bigl(\arctan(1)-\arctan(0)\bigr) = \frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{8}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{8}

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