Encontre o comprimento de arco da curva C: \gamma(t)=\left(\frac{t^{3}}{3}+\frac{t^{2}}{2}, \frac{t^{3}}{3}-\frac{t^{2}}{2}\right), para 0 \leq t \leq 1. (2,0ptos)

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva paramétrica \gamma(t)=\bigl(\tfrac{t^{3}}{3}+\tfrac{t^{2}}{2},\,\tfrac{t^{3}}{3}-\tfrac{t^{2}}{2}\bigr) para 0\le t\le1. O conteúdo necessário é a fórmula de comprimento de arco de curva paramétrica:
L=\int_{a}^{b}\bigl\|\gamma'(t)\bigr\|\;dt.

Passo 2

Calcular a derivada de \gamma(t):
\gamma'(t) =\bigl(t^2+t,\;t^2 - t\bigr).

Passo 3

Determinar o módulo de \gamma'(t):
\|\gamma'(t)\| =\sqrt{(t^2+t)^2 + (t^2 - t)^2} =\sqrt{2t^4 + 2t^2} =\sqrt{2}\;t\sqrt{t^2+1},
válido em 0\le t\le1, pois t\ge0.

Passo 4

Escrever o integral do comprimento de arco:
L =\int_{0}^{1}\sqrt{2}\;t\sqrt{t^2+1}\;dt =\sqrt{2}\int_{0}^{1}t\sqrt{t^2+1}\;dt.
Fazendo a substituição u=t^2+1, du=2t\,dt, temos
\int t\sqrt{t^2+1}\,dt =\frac{1}{2}\int u^{1/2}\,du =\frac{u^{3/2}}{3} =\frac{(t^2+1)^{3/2}}{3}.

Passo 5

Avaliar o integral de 0 a 1:
\int_{0}^{1}t\sqrt{t^2+1}\;dt =\Bigl[\frac{(t^2+1)^{3/2}}{3}\Bigr]_{0}^{1} =\frac{2^{3/2}-1^{3/2}}{3} =\frac{2\sqrt{2}-1}{3}.
Multiplicando por \sqrt{2},
L =\sqrt{2}\,\frac{2\sqrt{2}-1}{3} =\frac{4-\sqrt{2}}{3}.

Resposta

\frac{4-\sqrt{2}}{3}

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