Mostre que: (Valor: 1,0 )
Se a
e a
são racionais, então a é racional.
Se a
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
e
são números racionais, então
também é racional. Vamos usar duas ideias principais:
- A combinação linear de expoentes com coeficientes inteiros (Bézout).
- Fechamento dos números racionais sob produto e quociente.
Passo 2
Calculamos o máximo divisor comum de
e
e obtemos
. Pelo lema de Bézout, existem inteiros
tais que
Uma solução explícita é
ou seja,
e
.
Passo 3
Usamos essa combinação linear nos expoentes de
. Como
, temos
Substituindo
e
, isso dá
Passo 4
Por hipótese,
e
são racionais. Como o conjunto dos racionais é fechado sob produto, potência inteira e quociente (desde que não divida por zero), segue que
é racional. Logo
é racional.