Mostre que: (Valor: 1,0 )
Se a { }^{7} e a { }^{12} são racionais, então a é racional.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se \,a^{7} e \,a^{12} são números racionais, então a também é racional. Vamos usar duas ideias principais:
  1. A combinação linear de expoentes com coeficientes inteiros (Bézout).
  2. Fechamento dos números racionais sob produto e quociente.

Passo 2

Calculamos o máximo divisor comum de 7 e 12 e obtemos \gcd(7,12)=1. Pelo lema de Bézout, existem inteiros m,n tais que
7m + 12n = 1.
Uma solução explícita é
7\cdot(-5) + 12\cdot3 = -35 + 36 = 1,
ou seja, m=-5 e n=3.

Passo 3

Usamos essa combinação linear nos expoentes de a. Como 7m+12n=1, temos
a^{1} \;=\; a^{7m+12n} \;=\; a^{7m}\,\cdot\,a^{12n}.
Substituindo m=-5 e n=3, isso dá
a \;=\; a^{7\cdot(-5)}\,\cdot\,a^{12\cdot3} \;=\;\frac{a^{12\cdot3}}{a^{7\cdot5}} \;=\;\frac{\bigl(a^{12}\bigr)^{3}}{\bigl(a^{7}\bigr)^{5}}.

Passo 4

Por hipótese, a^{12} e a^{7} são racionais. Como o conjunto dos racionais é fechado sob produto, potência inteira e quociente (desde que não divida por zero), segue que
\frac{\bigl(a^{12}\bigr)^{3}}{\bigl(a^{7}\bigr)^{5}}
é racional. Logo a é racional.

Resposta

a é racional.

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